Question

9．已知函數(shù)f（x）=x³+2f′（1）x²+1，g（x）=x²-ax（a∈R）
（Ⅰ）求f'（l）的值和f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對(duì)任意x₁∈[-1，1]都存在x₂∈（0，2），使得f（x₁）≥g（x₂），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將函數(shù)f（x）求導(dǎo)，令x=1，即可求得f′（1）的值，令f′（x）≥0，求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，f′（x）≤0，求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）x₁∈[-1，1]，利用函數(shù)單調(diào)性，求出f（x）最大值，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，等價(jià)于f（x）_max≥g（x），分離參數(shù)，求最值，即可求a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x³+2f′（1）x²+1，
∴f′（x）=3x²+4f′（1）x，
f′（1）=3+4f′（1），即f′（1）=-1，
f′（x）≥0，解得x≤0或x≥$\frac{4}{3}$；f′（x）≤0，解得0≤x≤$\frac{4}{3}$；
即f（x）在（-∞，0]單調(diào)遞增，在[0，$\frac{4}{3}$]單調(diào)遞減，在[$\frac{4}{3}$，+∞）單調(diào)遞增；
（Ⅱ）當(dāng)x₁∈[-1，1]時(shí)，f（x）在[-1，0]單調(diào)遞增，在[0，1]單調(diào)遞減；
而f（-1）=-2，f（1）=0，可知f（x）_max=f（-1）=-2，
從而：-2≥g（x）=x2-ax在x∈（0，2）上有解，
即a≥$\frac{{x}^{2}+2}{x}$有解，
a≥[$\frac{{x}^{2}+2}{x}$]min=2$\sqrt{2}$，即a≥2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值及把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，采用分離參數(shù)求未知數(shù)的取值范圍，考查分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．