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【題目】如圖，矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，，分別是的中點．

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的正切值．

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由幾何關系可知四邊形是平行四邊形，則． 由線面平行的判定定理可得平面． 由中位線的性質可知，則面 利用面面平行的判定定理即可證得平面平面．

（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，計算可得平面的一個法向量．而平面的一個法向量為．據此可得，然后結合同角三角函數基本關系求解二面角的正切值即可.

（1）因為是的中點，，所以．

又因為， ，所以，且，

所以四邊形是平行四邊形，所以．

又因為平面平面，所以平面．

因為分別是的中點，所以．

又因為平面平面，所以面

又因為平面平面，所以平面平面．

（2）以為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，則，

所以．

設平面的一個法向量為，則，令，得，

所以．

易知平面的一個法向量為．

所以．

又因為二面角的平面角為銳角，所以二面角的正切值．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數方程是（為參數），曲線的直角坐標方程為，將曲線上的點向下平移1個單位，然后橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到曲線．

（1）求曲線和曲線的直角坐標方程；

（2）若曲線和曲線相交于兩點，求三角形的面積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】（本小題共13分）已知函數 的最小正周期為．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函數的單調區(qū)間及其圖象的對稱軸方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某中學數學老師分別用兩種不同教學方式對入學數學平均分和優(yōu)秀率都相同的甲、乙兩個高一新班（人數均為 人）進行教學（兩班的學生學習數學勤奮程度和自覺性一致），數學期終考試成績莖葉圖如下：

（1）現從乙班數學成績不低于 分的同學中隨機抽取兩名同學，求至少有一名成績?yōu)?/span> 分的同學被抽中的概率；

（2）學校規(guī)定：成績不低于 分的優(yōu)秀，請?zhí)顚懴旅娴?/span>聯(lián)表，并判斷有多大把握認為“成績優(yōu)秀與教學方式有關”．

附：參考公式及數據

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某農場計劃設計建造一條2000米長的水渠，其橫斷面如圖所示.其中，底部是半徑為1米的圓弧，上部是有一定傾角的線段與，渠深為米，且圓弧的圓心為O在上，，，，.據測算，水渠底部曲面每平方米的造價為百元，上部矩形壁面每平方米的造價為1百元，其他費用忽略不計.設，.

（1）試用表示水渠建造的總費用（單位：百元）；

（2）試確定的值，使得建造總費用最低.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，函數，其中，是的一個極值點，且.

（1）討論的單調性

（2）求實數和a的值

（3）證明

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某地區(qū)2020年清明節(jié)前后3天每天下雨的概率為60%，通過模擬實驗的方法來計算該地區(qū)這3天中恰好有2天下雨的概率：用隨機數（，且）表示是否下雨：當時表示該地區(qū)下雨，當時，表示該地區(qū)不下雨，從隨機數表中隨機取得20組數如下

332 714 740 945 593 468 491 272 073 445

992 772 951 431 169 332 435 027 898 719

（1）求出的值，并根據上述數表求出該地區(qū)清明節(jié)前后3天中恰好有2天下雨的概率；

（2）從2011年開始到2019年該地區(qū)清明節(jié)當天降雨量（單位：）如下表：（其中降雨量為0表示沒有下雨）.

時間

2011年

2012年

2013年

2014年

2015年

2016年

2017年

2018年

2019年

年份

1

2

3

4

5

6

7

8

9

降雨量

29

28

26

27

25

23

24

22

21

經研究表明：從2011年開始至2020年， 該地區(qū)清明節(jié)有降雨的年份的降雨量與年份成線性回歸，求回歸直線，并計算如果該地區(qū)2020年（）清明節(jié)有降雨的話，降雨量為多少？（精確到0.01）

參考公式：.

參考數據：，，

，.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）對任意的，，，恒有，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，為的導數．

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）證明：在區(qū)間上存在唯一零點；

（Ⅲ）設，若對任意，均存在，使得，求實數的取值范圍.

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