Question

對于函數(shù)f（x）及其定義域內(nèi)的一個區(qū)間[m，n]（m＜n），若f（x）在[m，n]內(nèi)的值域為[m，n]，則稱[m，n]為f（x）的保值區(qū)間．函數(shù)f（x）=ax²-2x的保值區(qū)間能否是[-1，2]？若能，求出a的一個值；若不能，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：通過對a=0、a＞0、a＜0的討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，可知不存在a使得函數(shù)f（x）=ax²-2x的“保值區(qū)間”是[-1，2]；

解答： 由于f（x）=ax²-2x，
當(dāng)a=0時，f（x）=-2x，假設(shè)其“保值區(qū)間”是[-1，2]，
由f（x）=-2x為減函數(shù)得：

f(-1)=2 f(2)=-4≠-1

，
故a=0時不成立；
當(dāng)a＞0時，f（x）=ax²-2x的對稱軸為x=

1

a

＞0，
若

1

a

≥2，y=f（x）在[-1，2]為減函數(shù)，

f(-1)=a+2=2 f(2)=4a-4=-1

，解得a∈∅；
若

1

a

∈（0，2]，則f（

1

a

）=-1，且（f（-1），f（2））_max=2，解得：a=1，但f（-1）=3，f（2）=0，不滿足題意；
由上面的分析可知，a＞0時，與題意不符；
當(dāng)a＜0時，f（x）=ax²-2x的對稱軸為x=

1

a

＜0，
若

1

a

≤-1，y=f（x）在[-1，2]為減函數(shù)，同理可得，a∈∅；
若

1

a

∈[-1，0]，則f（

1

a

）=2，解得：a=-

1

2

，f（x）=-

1

2

x²-2x，又f（-1）=

3

2

，f（2）=-6，不滿足題意；
故a＜0時，也不符合題意；
綜上所述，不存在a使得函數(shù)f（x）=ax²-2x的“保值區(qū)間”是[-1，2]．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考查函數(shù)的單調(diào)性與閉區(qū)間上的最值，理解新定義“保值區(qū)間”解決問題的是關(guān)鍵，考查邏輯思維、創(chuàng)新思維、運算能力，屬于難題．