Question

在平面直角坐標系中，定義點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之間的“直角距離”為d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|，若點C（x，y）到點A（1，3），B（6，9）的“直角距離”相等，其中實數(shù)x、y滿足0≤x≤7，3≤y≤9，則所有滿足條件的點C的軌跡的長度之和為

 

．

Answer 1

考點：兩點間的距離公式

專題：直線與圓

分析：點C（x，y）到點A（1，3），B（6，9）的“直角距離”相等，可得|x-1|+|y-3|=|x-6|+|y-9|，（*）
由于實數(shù)x、y滿足0≤x≤7，3≤y≤9，對x分類討論：當0≤x≤1時，當1≤x≤6時，當6≤x≤7時，再利用兩點之間的距離公式即可得出．

解答： 解：∵點C（x，y）到點A（1，3），B（6，9）的“直角距離”相等，
∴|x-1|+|y-3|=|x-6|+|y-9|，（*）
∵實數(shù)x、y滿足0≤x≤7，3≤y≤9，
∴當0≤x≤1時，（*）化為1-x+y-3=6-x+9-y，得到y(tǒng)=

17

2

，此時點C的軌跡長度=1；
當1≤x≤6時，（*）化為x-1+y-3=6-x+9-y，化為2x+2y=19，取點M(1，

17

2

)，N(6，

7

2

)，此時點C的軌跡長度=|MN|=

(1-6)2+( 17 2 - 7 2 )2

=5

2

；
當6≤x≤7時，（*）化為x-1+y-3=x-6+9-y，得到y(tǒng)=

7

2

，此時點C的軌跡長度=1．
綜上可得：所有滿足條件的點C的軌跡的長度之和為 5

2

+2．
故答案為：5

2

+2．

點評：本題考查了新定義“直角距離”、分類討論的思想方法、兩點之間的距離公式，考查了推理能力和技能數(shù)列，屬于難題．