Question

如圖，正四棱錐S-ABCD中，SA=AB，E、F、G分別為BC、SC、DC的中點(diǎn)，設(shè)P為線段FG上任意一點(diǎn)．
（l）求證：EP⊥AC；
（2）當(dāng)直線BP與平面EFG所成的角取得最大值時(shí)，求二面角P-BD-C的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）設(shè)AC交BD于O，則SO⊥底面ABCD，從而SO⊥AC，又BD⊥AC，從而AC⊥平面SBF，進(jìn)而AC⊥SO，由此能證明PE⊥AC．
（2）設(shè)AB=2，建立空間直角坐標(biāo)系，求出面EFG的法向量，設(shè)BP與平面EFG所成角為α，由向量法能求出點(diǎn)P在線段FG上，λ=1時(shí)sinα取最大值，由此能求出二面角P-BD-C的大�。�

解答： 解：（1）證明：設(shè)AC交BD于O，
∵S-ABCD為正四棱錐，∴SO⊥底面ABCD，
∴SO⊥AC，（1分）又∵BD⊥AC，
∴AC⊥平面SBF，∴AC⊥SO，
∵SD∥FG，∴AC⊥GF，又AC⊥GE，∴AC⊥平面GEF，
又∵PE?面GEF，∴PE⊥AC．（4分）
（2）解：設(shè)AB=2，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
則G（0，1，0），E（1，0，0），C（1，1，0），
S（0，0，

2

），F(xiàn)（

1

2

，

1

2

，

2

2

），B（1，-1，0），
∴

GF

=(

1

2

，-

1

2

，

2

2

)，（5分）
設(shè)

GP

=λ

GF

=(

λ

2

，-

λ

2

，

2

2

λ)，故點(diǎn)P(

λ

2

，1-

λ

2

，

2

2

λ)
∴

BP

=(

λ

2

-1，2-

λ

2

，

2

2

λ)，（6分）
設(shè)面EFG的法向量為

n

=（a，b，c），
∵n⊥

EF

，n⊥

GE

∴

a=b - a 2 + b 2 + 2 2 c=0

，令a=1，得

n

=（1，1，0）（7分）
設(shè)BP與平面EFG所成角為α，
則sinα=

| λ 2 -1+2- λ 2 |

2 × ( λ 2 -1)2+(2- λ 2 )2+ 1 2 λ2

=

2

2

1

λ2-3λ+5

（8分）
∵點(diǎn)P在線段FG上，∴0≤λ≤1，即λ=1時(shí)sinα取最大值
此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合（9分）
設(shè)二面角P-BD-C的大小為θ
∵點(diǎn)P到平面ABCD的距離為

2

2

，點(diǎn)P到BD的距離為1（10分）
則sinθ=

2 2

1

=

2

2

∴二面角P-BD-C的大小為45°．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直的證明，考查線面角最大時(shí)二面角的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．