Question

過拋物線y²=4x焦點(diǎn)作直線L與拋物線交于A、B，過A、B分別作拋物線的切線交于點(diǎn)P，則△ABP為（　　）

• A、銳角三角形
• B、直角三角形
• C、鈍角三角形
• D、隨P位置變化前三種情況都有可能

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出拋物線的焦點(diǎn)，兩邊對x求導(dǎo)，可得切線的斜率，討論AB斜率不存在，求得切線斜率，即可判斷；再設(shè)AB：y=k（x-1），（k≠0），聯(lián)立y²=4x，消去x，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合切線公式，由直線垂直的條件即可判斷三角形ABP的形狀．

解答： 解：拋物線y²=4x焦點(diǎn)為（1，0），
設(shè)拋物線y²=4x的點(diǎn)（m，n），
由2yy′=4，即有y′=

2

y

，
即切線的方程為y-n=

2

n

（x-m），
由于n²=4m，即有ny=2（m+x）．
若直線l：x=1，則交點(diǎn)A（1，2），B（1．-2），
則過A、B的切線方程分別為y-2=x-1和y+2=-（x-1），
即有PA⊥PB，則△ABP為直角三角形；
若直線AB的斜率為k，即有AB：y=k（x-1），（k≠0），
聯(lián)立y²=4x，消去x，可得

k

4

y²-y-k=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁y₂=-4．
則有切線的斜率為

2

y1

，

2

y2

，
且

2

y1

•

2

y2

=

4

y1y2

=-1，
即有PA⊥PB，則△ABP為直角三角形．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，注意運(yùn)用兩直線垂直的條件是解題的關(guān)鍵．