Question

10．已知函數(shù)f（x）=ax²+x-2，g（x）=-x+1+4lnx，h（x）=f（x）-g（x）．
（1）當a=1時，證明函數(shù)h（x）只有一個零點；
（2）若a＜0，已知函數(shù)h（x）在定義域內沒有極值點，求實數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析 （1）求導函數(shù)，確定函數(shù)的單調性，即可得出函數(shù)的零點．
（2）通過f（x）在定義域內無極值，f′（x）≤0在定義域上恒成立，分離參數(shù)，構造函數(shù)，求出函數(shù)的最小值即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵當a=1時，f（x）=x²+x-2，g（x）=-x+1+4lnx，
∴h（x）=f（x）-g（x）=x²+x-2+x-1-4lnx=x²+2x-3-4lnx，x＞0，
∴h′（x）=2x+2-$\frac{4}{x}$=$\frac{2（{x}^{2}+x-2）}{x}$=$\frac{2（x+2）（x-1）}{x}$，
令h′（x）=0，解得x=1，
當0＜x＜1時，h′（x）＜0；當x＞1時，f′（x）＞0．
∴函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調遞增，
∴當x=1時，函數(shù)f（x）取得最小值，其值為h（1）=1+2-3-4ln1=0．
當x≠1時，h（x）＞f（1），即h（x）＞0．
∴函數(shù)h（x）只有一個零點，
（2）h（x）=ax²+2x-3-4lnx，（x＞0），
∴h′（x）=2ax+2-$\frac{4}{x}$=$\frac{2（a{x}^{2}+x-2）}{x}$，（a＜0）
∵h（x）在定義域內無極值，
∴h′（x）≤0在定義域上恒成立，
∴ax²+x-2≤0恒成立，
∴a≤$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$，在（0，+∞）恒成立，
設F（x）=$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$，
∴F′（x）=-$\frac{4}{{x}^{3}}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-4}{{x}^{3}}$，
令F′（x）=0，解得x=4，
當0＜x＜4時，F(xiàn)′（x）＜0；當x＞4時，F(xiàn)′（x）＞0．
∴函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，4）上單調遞減，在區(qū)間（4，+∞）上單調遞增，
∴當x=4時，函數(shù)F（x）取得最小值，其值為F（4）=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{8}$，
∴a＜-$\frac{1}{8}$．

點評 本題考查函數(shù)的零點，考查導數(shù)和函數(shù)的單調性極值最值得關系，以及函數(shù)恒成立等問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．