Question

10．已知函數(shù)f（x）=ax²+x-2，g（x）=-x+1+4lnx，h（x）=f（x）-g（x）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，證明函數(shù)h（x）只有一個(gè)零點(diǎn)；
（2）若a＜0，已知函數(shù)h（x）在定義域內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得出函數(shù)的零點(diǎn)．
（2）通過(guò)f（x）在定義域內(nèi)無(wú)極值，f′（x）≤0在定義域上恒成立，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最小值即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²+x-2，g（x）=-x+1+4lnx，
∴h（x）=f（x）-g（x）=x²+x-2+x-1-4lnx=x²+2x-3-4lnx，x＞0，
∴h′（x）=2x+2-$\frac{4}{x}$=$\frac{2（{x}^{2}+x-2）}{x}$=$\frac{2（x+2）（x-1）}{x}$，
令h′（x）=0，解得x=1，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0．
∴函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，其值為h（1）=1+2-3-4ln1=0．
當(dāng)x≠1時(shí)，h（x）＞f（1），即h（x）＞0．
∴函數(shù)h（x）只有一個(gè)零點(diǎn)，
（2）h（x）=ax²+2x-3-4lnx，（x＞0），
∴h′（x）=2ax+2-$\frac{4}{x}$=$\frac{2（a{x}^{2}+x-2）}{x}$，（a＜0）
∵h(yuǎn)（x）在定義域內(nèi)無(wú)極值，
∴h′（x）≤0在定義域上恒成立，
∴ax²+x-2≤0恒成立，
∴a≤$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$，在（0，+∞）恒成立，
設(shè)F（x）=$\frac{2}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$，
∴F′（x）=-$\frac{4}{{x}^{3}}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-4}{{x}^{3}}$，
令F′（x）=0，解得x=4，
當(dāng)0＜x＜4時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0；當(dāng)x＞4時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0．
∴函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，4）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（4，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=4時(shí)，函數(shù)F（x）取得最小值，其值為F（4）=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{8}$，
∴a＜-$\frac{1}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性極值最值得關(guān)系，以及函數(shù)恒成立等問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．