Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-ax，g（x）=|x-a|，其中a為實(shí)數(shù)．
（I）若f（x）+g（x）是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）設(shè)t∈R，若?a∈[0，3]，對(duì)?x∈[0，3]，都有f（x）+l≥tg（x）成立，求實(shí)數(shù)t的最大值．

Answer 1

分析 （I）若f（x）+g（x）是偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義建立方程關(guān)系即可求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）利用參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，利用分類討論的思想進(jìn)行求解．

解答 解：（I）設(shè)h（x）=f（x）+g（x）=x²-ax+|x-a|，
若h（x）是偶函數(shù)，
則h（-x）=h（x），
即x²+ax+|-x-a|=x²-ax+|x-a|，
即2ax=|x-a|-|x+a|，
令x=a，則a²=-|a|≥0，
則a=0，即實(shí)數(shù)a的值為0；
（Ⅱ）∵對(duì)?x∈[0，3]，都有f（x）+l≥tg（x）成立
∴g（x）=0時(shí)，即x=a時(shí)，滿足條件．
若x≠a時(shí)，t≥（$\frac{1+f（x）}{g（x）}$）_min，
$\frac{1+f（x）}{g（x）}$=$\frac{{x}^{2}-ax+1}{|a-x|}$=$\left\{\begin{array}{l}{x-a+\frac{1}{x-a}+a，}&{a＜x≤3}\\{-（x-a）-\frac{1}{x-a}-a，}&{0≤x＜a}\end{array}\right.$，
令u=x-a，
則h（u）=$\left\{\begin{array}{l}{u+\frac{1}{u}+a，}&{0＜u≤3-a}\\{-u-\frac{1}{u}-a，}&{-a≤u＜0}\end{array}\right.$，
①當(dāng)2＜a≤3時(shí)，h（u）_min=min{3+$\frac{1}{3-a}$，2-a}=2-a
②當(dāng)1＜a≤2時(shí)，h（u）_min=min{2-a，2+a}=2-a，
此時(shí)存在實(shí)數(shù)a∈（1，3]，有t≤2-a，則t≤1，
③當(dāng)0≤a＜1時(shí)，h（u）_min=min{2+a，$\frac{1}{a}$}如圖：
要使垂直實(shí)數(shù)0≤a＜1時(shí)，t≤min{2+a，$\frac{1}{a}$}，
則需要t≤$\sqrt{2}+1$，即可，
綜上實(shí)數(shù)t的最大值為$\sqrt{2}+1$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用以及不等式恒成立問題，利用參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．