Question

8．設(shè){a_n}是公比大于1的等比數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．已知S₃=7且a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令b_n=lna_n，n=1，2，…，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）設(shè){a_n}是公比q大于1的等比數(shù)列，由于a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列，可得6a₂=a₃+4+a₁+3，即6a₁q=${a}_{1}{q}^{2}$+7+a₁，又S₃=a₁（1+q+q²）=7，聯(lián)立解出即可得出．
（II）b_n=lna_n=（n-1）ln2，再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（I）設(shè){a_n}是公比q大于1的等比數(shù)列，
∵a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列，
∴6a₂=a₃+4+a₁+3，化為6a₁q=${a}_{1}{q}^{2}$+7+a₁，又S₃=a₁（1+q+q²）=7，
聯(lián)立解得a₁=1，q=2．
∴a_n=2^n-1．
（II）b_n=lna_n=（n-1）ln2，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{n（n-1）}{2}$ln2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．