Question

3．已知函數(shù)f（x）=|2x-a|+|2x+3|，g（x）=|x-1|+3．
（I）解不等式：|g（x）|＜5；
（II）若對任意的x₁∈R，都有x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將不等式等價為：-5＜|x-1|+3＜5，即只需解|x-1|＜2即可；
（2）問題等價為：f（x）的值域是g（x）值域的子集，再分別求出兩函數(shù)的值域，根據(jù)集合間的關(guān)系確定a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由||x-1|+3|＜5得，
得-5＜|x-1|+3＜5，即-8＜|x-1|＜2，
所以，-2＜x-1＜2，解得，-1＜x＜3，
因此，原不等式的解集為：（-1，3）；
（Ⅱ） 因為任意的x₁∈R，都有x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
所以，f（x）的值域是g（x）值域的子集，
即{y|y=f（x），x∈R}⊆{y|y=g（x），x∈R}，
根據(jù)絕對值三角不等式，|2x-a|+|2x+3|≥|（2x-a）-（2x+3）|=|a+3|，
所以，f（x）的值域為：[|a+3|，+∞），
而g（x）=|x-1|+3的值域為：[3，+∞），
因此，[|a+3|，+∞）⊆[3，+∞），
即|a+3|≥3，解得a≤-6或a≥0，
所以，實數(shù)a的取值范圍為：（-∞，-6]∪[0，+∞）．

點評 本題主要考查了絕對值不等式的解法，以及恒成立問題的等價與轉(zhuǎn)化的方法，涉及函數(shù)值域的確定和集合間包含關(guān)系的判斷，屬于中檔題．