【題目】如圖,橢圓:的右焦點為,右頂點、上頂點分別為點,
已知橢圓的焦距為,且.
(1)求橢圓的方程;
(2)若過點的直線交橢圓于兩點,當(dāng)面積取得最大時,求直線的方程.
【答案】(1);(2).
【解析】試題(1)由橢圓的焦距為可得,再由兩點的距離公式,結(jié)合的關(guān)系,解得,進而得到橢圓方程;(2)設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程,運用韋達定理和判別式大于零,以及弦長公式,點到直線的距離公式和三角形的面積公式,結(jié)合基本不等式成立的條件即可得到直線方程.
試題解析:(1)橢圓的焦距為,所以,
由已知,即,
,,
所以,
橢圓方程為
(2)解:由題意知直線的斜率存在,設(shè)直線的方程為
由,消去得關(guān)于的方程:
由直線與橢圓相交于兩點,解得
又由韋達定理得
原點到直線的距離
.
令,則
當(dāng)且僅當(dāng)即時,
此時.
所以,所求直線方程為.
【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系和三角形面積公式,屬于難題.用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟;①作判斷:根據(jù)條件判斷橢圓的焦點在軸上,還是在軸上,還是兩個坐標(biāo)軸都有可能;②設(shè)方程:根據(jù)上述判斷設(shè)方程或 ;③找關(guān)系:根據(jù)已知條件,建立關(guān)于、、的方程組;④得方程:解方程組,將解代入所設(shè)方程,即為所求.
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【題目】已知函數(shù)f(x)在定義域[2﹣a,3]上是偶函數(shù),在[0,3]上單調(diào)遞增,并且f(﹣m2﹣ )>f(﹣m2+2m﹣2),則m的取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】已知f(x)=|x+2|﹣|2x﹣1|,M為不等式f(x)>0的解集.
(1)求M;
(2)求證:當(dāng)x,y∈M時,|x+y+xy|<15.
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【題目】如圖,已知在四棱錐中,底面是邊長為4的正方形,是正三角形,平面平面,分別是的中點.
(1)求證:平面平面;
(2)若是線段上一點,求三棱錐的體積.
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【題目】隨著蘋果6手機的上市,很多消費者覺得價格偏高,尤其是一部分大學(xué)生可望而不可及,因此“國美在線”推出無抵押分期付款購買方式,某分期店對最近100位采用分期付款的購買者進行統(tǒng)計,統(tǒng)計結(jié)果如下表所示:
付款方式 | 分1期 | 分2期 | 分3期 | 分4期 | 分5期 |
頻 數(shù) | 35 | 25 | a | 10 | b |
已知分3期付款的頻率為0.15,并且店銷售一部蘋果6,顧客分1期付款,其利潤為1千元;分2期或3期付款,其利潤為1.5千元;分4期或5期付款,其利潤為2千元,以頻率作為概率.
(1)求事件A:“購買的3位顧客中,至多有1位分4期付款”的概率;
(2)用X表示銷售一該手機的利潤,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(x)
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【題目】已知點在拋物線上,則當(dāng)點到點的距離與點到拋物線焦點距離之和取得最小值時,點的坐標(biāo)為( )
A. B. C. D.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的焦距為,離心率為,橢圓的右頂點為.
(1)求該橢圓的方程;
(2)過點作直線交橢圓于兩個不同點,求證:直線的斜率之和為定值.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|2x﹣1|﹣|x+2|.
(1)解不等式f(x)>3;
(2)若x0∈R,使得f(x0)+2m2<4m,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】《九章算術(shù)》是我國古代一部重要的數(shù)學(xué)著作,書中有如下問題:“今有良馬與駑馬發(fā)長安,至齊.齊去長安三千里,良馬初日行一百九十三里,日增一十三里,駑馬初日行九十七里,日減半里.良馬先至齊,復(fù)還迎駑馬,問幾何日相逢.”其大意為:“現(xiàn)在有良馬和駑馬同時從長安出發(fā)到齊去,已知長安和齊的距離是3000里,良馬第一天行193里,之后每天比前一天多行13里,駑馬第一天行97里,之后每天比前一天少行0.5里.良馬到齊后,立刻返回去迎駑馬,多少天后兩馬相遇.”試確定離開長安后的第天,兩馬相逢.
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