Question

關(guān)于直線m、n與平面α、β，有以下四個命題：
①若m∥α，n∥β且α∥β，則m∥n   ②若m∥α且n⊥β且α⊥β，則m∥n
③若m⊥α，n∥β且α∥β，則m⊥n   ④若m⊥α，n⊥β且α⊥β，則m⊥n
其中真命題有（ ）
A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：命題①中注意考慮面面平行的性質(zhì)及m與n位置的多樣性；
命題②中注意考慮面面垂直的性質(zhì)及m與n位置的多樣性；
命題③根據(jù)n∥β且α∥β，知n∥α；
命題④由m⊥α，n⊥β且α⊥β，可知m與n不平行，借助于直線平移先得到一個與m或n都平行的平面，
則所得平面與α、β都相交，根據(jù)m與n所成角與二面角平面角互補的結(jié)論．
解答：解：命題①中，由m∥α，n∥β且α∥β，能得到m∥n，或m與n 異面，或m與n相交三種可能，故命題①錯誤；
命題②中，根據(jù)∵m∥α且n⊥β且α⊥β，也能得到m∥n，或m與n 異面，或m與n相交三種可能，故命題②錯誤；
命題③中，若m⊥α，且α∥β，則m⊥β，又因為n∥β，所以m⊥n，故命題③正確；
對于命題④，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，則m與n一定不平行，否則有α∥β，與已知α⊥β矛盾，通過平移使得m與n相交，
且設(shè)m與n確定的平面為γ，則γ與α和β的交線所成的角即為α與β所成的角，因為α⊥β，所以m與n所成的角為90°，故命題④正確．
故選B．
點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．