Question

14．函數(shù)f（x）滿足條件：對(duì)于函數(shù)f（x）的零點(diǎn)x₀，當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}（a-{x_0}）（b-{x_0}）＜0\\（a-b）[f（a）-f（b）]＜0\end{array}\right.$成立時(shí)，恒有$ab＜x_0^2$或a+b＜2x₀，則稱函數(shù)f（x）為“好函數(shù)”．則下列三個(gè)函數(shù)：①f（x）=|lgx|，②f（x）=|cosx|（0≤x≤π），③f（x）=|2^x-2|，為“好函數(shù)”的個(gè)數(shù)有（　�。�

• A． 0個(gè)
• B． 1個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 3個(gè)

Answer 1

分析 根據(jù)已知中“好函數(shù)”的定義，逐一分析給定四個(gè)函數(shù)是否為“好函數(shù)”，可得答案．

解答 解：不妨設(shè)a≤b．則$\left\{\begin{array}{l}（a-{x_0}）（b-{x_0}）＜0\\（a-b）[f（a）-f（b）]＜0\end{array}\right.?\left\{\begin{array}{l}a＜{x_0}＜b\\ f（b）-f（a）＜0.\end{array}\right.$，
對(duì)于①：x₀=1，當(dāng)0＜a＜1＜b時(shí)，$f（b）-f（a）=lgb+lga=lg（ab）＜0⇒ab＜1=x_0^2$，故①中函數(shù)是“好函數(shù)”；
對(duì)于②：${x_0}=\frac{π}{2}$，當(dāng)$0≤a＜\frac{π}{2}＜b≤π$時(shí)，f（b）-f（a）=-cosb-cosa=cos（π-b）-cosa＜0，
因?yàn)棣?b，$a∈[{0，\frac{π}{2}}）$，故π-b＞a⇒a+b＜π．故$ab≤{（{\frac{a+b}{2}}）^2}＜{（{\frac{π}{2}}）^2}=x_0^2$，故②中函數(shù)是“好函數(shù)”；
對(duì)于③：x₀=1，當(dāng)a＜1＜b時(shí)，f（b）-f（a）=2^b-2-（2-2^a）=2^a+2^b-4＜0，
故$2＞\frac{{{2^a}+{2^b}}}{2}≥\sqrt{{2^a}×{2^b}}=\sqrt{{2^{a+b}}}⇒\frac{a+b}{2}＜1⇒a+b＜2=2{x_0}$，故③中函數(shù)是“好函數(shù)”．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是新定義“好函數(shù)”，正確理解新定義“好函數(shù)”的含義，是解答的關(guān)鍵．