Question

4．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別是BB₁，BC的中點，（1）直線MN與平面BDD₁B₁所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$
（2）則圖中陰影部分在平面ADD₁A₁上的投影的面積為$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 （1）利用正方體的性質(zhì)得到AC的對交面的垂線，由此得到NQ為對角面的垂線，得到線面角；然后求值；
（2）只要找到三個頂點的投影即找到平面的投影．

解答 解：（1）因為已知是正方體，連接AC，容易得到AC⊥平面BDD₁B₁，M、N分別是BB₁，BC的中點，
過N作NQ∥AC，則NQ⊥平面BDD₁B₁，所以直線MN與平面BDD₁B₁所成的角為∠NMQ；
其中MN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，NQ=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，所以MQ=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，所以直線MN與平面BDD₁B₁所成角的余弦值為$\frac{MQ}{MN}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）圖中陰影部分MND在平面ADD₁A₁上的投影為EFD的面積，其中E，F(xiàn)分別是AA₁，AD的中點，所以其面積為$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$；
如圖

故答案為：（1）$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．（2）$\frac{1}{8}$

點評 本題考查了正方體中線面角的求法以及圖形的投影；關(guān)鍵是要有較好的空間想象能力．