Question

9．在△ABC中，∠B=30°，∠A=90°，M是邊BC的中點，現(xiàn)將△ABM沿AM旋轉(zhuǎn)，當△ABM轉(zhuǎn)到與△ACM所在面垂直時，CB與平面AMC所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{30}}{10}$；異面直線CB與AM所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 （1）利用好折疊前后圖形的關(guān)系，作BE垂直AMd 延長線與E點，連接EC，作OC⊥AM
計算線段長度，轉(zhuǎn)化為三角Rt△BEC中求解．
（2）建立空間坐標系轉(zhuǎn)化為向量$\overrightarrow{BC}$與$\overrightarrow{AM}$夾角求解，利用向量的數(shù)量積．

解答 解：（1）∵在△ABC中，∠B=30°，∠A=90°，M是邊BC的中點，
∴作BE垂直AM延長線與E點，連接EC，作OC⊥AM，
設(shè)AC=1，則AB=$\sqrt{3}$，MA=MB=MC=1，
根據(jù)平面幾何知識得出；BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，ME=$\frac{1}{2}$，
EC=$\sqrt{1+\frac{1}{4}-2×1×\frac{1}{2}×（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
OC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OA=OM=$\frac{1}{2}$，
∵將△ABM沿AM旋轉(zhuǎn)，當△ABM轉(zhuǎn)到與△ACM所在面垂直，
∴BE⊥面AEC，
CB與平面AMC所成的角θ=∠BCE，
∴Rt△BEC中，BC=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，OE=1，
sinθ=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$；

（2）建立空間坐標系如圖所示，

∴B（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），E（0，0，0），C（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1，0），
$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{AM}$=（0，1，0）
∵$\overrightarrow{BC}$$•\overrightarrow{AM}$=1，|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{3}{4}+1}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，|$\overrightarrow{AM}$|=1，
∴cos＜$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AM}$＞=$\frac{1}{\frac{\sqrt{10}}{2}×1}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴異面直線CB與AM所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{10}}{5}$
故答案為：$\frac{\sqrt{30}}{10}$；$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查了折疊問題，求解夾角，充分利好平面圖形與立體圖形的關(guān)系，考查了學生的運算能力，思維能力．