Question

5．證明：設m是任一正整數(shù)，則a_m=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{3}$$+\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{{2}^{m}}$不是整數(shù)．

Answer 1

分析 分別在原式兩邊乘以M，再乘以N（最小公倍數(shù)），再根據(jù)整數(shù)的性質和假設的方式，使得命題得以證明．

解答 證明：當m=1時，a₁=$\frac{1}{2}$，顯然不是整數(shù)，結論成立．
下面證明，當m≥2時，a_m=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2^m}$也不可能是整數(shù)．
設S=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2^m}$，令M=2^m，在S兩邊同時乘以M得：MS=$\frac{M}{2}$+$\frac{M}{3}$+$\frac{M}{4}$+…+1，
等式右邊的每一項$\frac{M}{k}$（k=1，2，3，…，2^m），要么是整數(shù)，要么是一個分母為奇數(shù)的不可約分數(shù)，
再來考察那些分母為奇數(shù)的不可約分數(shù)的項．
因為m≥2，故在所有的分母當中（都是奇數(shù)）必定存在一個最大的奇素數(shù)，
設它為p，這樣在分母中去掉p，設余下的奇數(shù)的最小公倍數(shù)為N，
在MS=$\frac{M}{2}$+$\frac{M}{3}$+$\frac{M}{4}$+…+1兩邊再同時乘以N，得到MNS=$\frac{MN}{2}$+$\frac{MN}{3}$+$\frac{MN}{4}$+…+N．
等式右邊的每一項$\frac{MN}{k}$（k=1，2，3，…，…，2^m），僅當k=p時，$\frac{MN}{k}$不是整數(shù)，其他的項都是整數(shù)．
所以等式右邊最后得到的不是整數(shù)，因此，等式左邊的MNS也不是整數(shù)，
顯然，若S是整數(shù)，那么就與MNS不是整數(shù)相矛盾！
所以a_m不可能是整數(shù)．證畢．

點評 本題主要考查了整數(shù)的性質，涉及到整除，素數(shù)，最小公倍數(shù)等知識點，通過多次構造使得命題得以證明，屬于難題．