Question

從正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)中任取兩點(diǎn)邊成直線，要求所得直線與AC₁垂直，則這樣的直線共有

27

 條．

Answer 1

分析：先根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)，證出AC₁⊥平面A₁BD，這樣得到：平面A₁BD內(nèi)的直線和平行于平面A₁BD的平面內(nèi)的直線都與AC₁垂直．由此尋找與平面A₁BD平行的平面，再從中找到直線與AC₁垂直，不難找到符合題意的直線的條數(shù)．

解答：解：∵AA₁⊥平面ABCD，BD⊆平面ABCD，
∴AA₁⊥BD
又∵正方形ABCD中，AC⊥BD，且AA₁、AC是平面AA₁C₁C內(nèi)的相交直線
∴BD⊥平面AA₁C₁C，
∵AC₁⊆平面AA₁C₁C，∴BD⊥AC₁，
同理可得BA₁⊥AC₁，結(jié)合線面垂直的判定定理，得AC₁⊥平面A₁BD
因此，平面A₁BD內(nèi)的直線都與AC₁垂直，
并且平行于平面A₁BD的平面都與AC₁垂直，該平面內(nèi)的直線都與AC₁垂直，
這樣，在△A₁BD中有三條直線與AC₁垂直，在△B₁D₁C中有三條直線與AC₁垂直，在△IJK中有三條直線與AC₁垂直，
在△RST中有三條直線與AC₁垂直，共有3×4=12條直線與AC₁垂直
而在六邊形LMNOPQ中，任意兩點(diǎn)的連線都AC₁垂直，共C62=15條直線與AC₁垂直
綜上所述，正方體頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)中任取兩點(diǎn)連成直線，與AC₁垂直的直線共12+15=27條
故答案為：27

點(diǎn)評(píng)：本題給出正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)中任取兩點(diǎn)連成直線，問與AC₁垂直的直線直線有多少條．著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)和計(jì)數(shù)原理等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．