Question

10．已知函數(shù) f（x）的定義域為 A，若當(dāng)f（x₁）=f（x₂）（x₁，x₂∈A）時，總有x₁=x₂，則稱 f（x）為單值函數(shù)．例如，函數(shù)f（x）=2x+1（x∈R）是單值函數(shù)．給出下列命題：
①函數(shù)f（x）=x²（x∈R）是單值函數(shù)；
②函數(shù)f（x）=2^x（x∈R）是單值函數(shù)；③若f（x）為單值函數(shù)，x₁，x₂∈A，且x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）；
④函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}，x≥0}\\{（\frac{1}{2}）^{x}-1，x＜0}\end{array}\right.$是單值函數(shù)．
其中的真命題是②③．（寫出所有真命題的編號）

Answer 1

分析 由新定義可知，滿足題意的函數(shù)實際上是單調(diào)函數(shù)．
由二次函數(shù)f（x）=x²（x∈R）的單調(diào)性判斷①；由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷②；結(jié)合單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)判斷③，由分段函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}，x≥0}\\{（\frac{1}{2}）^{x}-1，x＜0}\end{array}\right.$的單調(diào)性判斷④．

解答 解：由f（x₁）=f（x₂）（x₁，x₂∈A）時，總有x₁=x₂，則f（x）實際上是單調(diào)函數(shù)．
①函數(shù)f（x）=x²（x∈R）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，（0，+∞）上單調(diào)遞增，故不是單值函數(shù)；
②函數(shù)f（x）=2^x（x∈R）是單調(diào)函數(shù)，故f（x）=2^x（x∈R）是單值函數(shù)；
③f（x）為單值函數(shù)，則f（x）是單調(diào)函數(shù)，若x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）；
④函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}，x≥0}\\{（\frac{1}{2}）^{x}-1，x＜0}\end{array}\right.$是分段函數(shù)，在（-∞，0）上單調(diào)遞減，（0，+∞）上單調(diào)遞增，故不是單值函數(shù)．
故答案為：②③．

點評 本題是新定義題，考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．