【題目】已知函數(shù)f(x)=ex+ax2-e2x.
(1)若曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線平行于x軸,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若x>0時,總有f(x)>-e2x,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1) f(x)在(-∞,2)上單調(diào)遞減;f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增;(2)
【解析】試題分析:
(1)由導(dǎo)函數(shù)與斜率的關(guān)系可得,則函數(shù)f(x)在(-∞,2)上單調(diào)遞減;f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增;
(2)分離系數(shù)后構(gòu)造新函數(shù),結(jié)合新函數(shù)的特征可得 實數(shù)a的取值范圍是.
試題解析:
(1)由f′(x)=ex+2ax-e2,得
y=f(x)在點(2,f(2))處的切線斜率k=4a=0,則a=0.
此時f(x)=ex-e2x,f′(x)=ex-e2.
由f′(x)=0,得x=2.
當(dāng)x∈(-∞,2)時,f′(x)<0,f(x)在(-∞,2)上單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(2,+∞)時, f′(x)>0,f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增.
(2)由f(x)>-e2x,得a>-.設(shè)g(x)=-,x>0,則g′(x)=.
∴當(dāng)0<x<2時,g′(x)>0,g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增;
當(dāng)x>2時,g′(x)<0,g(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞減.
∴g(x)≤g(2)=-.因此實數(shù)a的取值范圍為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著國民生活水平的提高,利用長假旅游的人越來越多.某公司統(tǒng)計了2012到2016年五年間本公司職員每年春節(jié)期間外出旅游的家庭數(shù),具體統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示:
(Ⅰ)從這5年中隨機抽取兩年,求外出旅游的家庭數(shù)至少有1年多于20個的概率;
(Ⅱ)利用所給數(shù)據(jù),求出春節(jié)期間外出旅游的家庭數(shù)與年份之間的回歸直線方程,判斷它們之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān);并根據(jù)所求出的直線方程估計該公司2019年春節(jié)期間外出旅游的家庭數(shù).
參考公式:,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在圖中,G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點,則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有 . (填上所有正確答案的序號)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若sin2α= ,sin(β﹣α)= ,且α∈[ ,π],β∈[π, ],則α+β的值是( )
A.
B.
C. 或
D. 或
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比,收獲時各隨機抽取了100 個網(wǎng)箱,測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg).其頻率分布直方圖如下:
(1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立,記A表示事件:“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”,估計A的概率;
(2)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān):
箱產(chǎn)量<50kg | 箱產(chǎn)量≥50kg | |
舊養(yǎng)殖法 | ||
新養(yǎng)殖法 |
(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值(精確到0.01).
附:,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】河南多地遭遇跨年霾,很多學(xué)校調(diào)整元旦放假時間,提前放假讓學(xué)生們在家躲霾,鄭州市根據(jù)《鄭州市人民政府辦公廳關(guān)于將重污染天氣黃色預(yù)警升級為紅色預(yù)警的通知》,自12月29日12時將黃色預(yù)警升級為紅色預(yù)警,12月30日0時啟動I級響應(yīng),明確要求“幼兒園、中小學(xué)等教育機構(gòu)停課,停課不停學(xué)”學(xué)生和家長對停課這一舉措褒貶不一,有為了健康贊成的,有怕耽誤學(xué)習(xí)不贊成的,某調(diào)查機構(gòu)為了了解公眾對該舉措的態(tài)度,隨機調(diào)查采訪了50人,將調(diào)查情況整理匯總成下表:
年齡(歲) | ||||||
頻數(shù) | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
贊成人數(shù) | 4 | 6 | 9 | 6 | 3 | 4 |
(1)請在圖中完成被調(diào)查人員年齡的頻率分布直方圖;
(2)若從年齡在, 兩組采訪對象中各隨機選取2人進行深度跟蹤調(diào)查,選中4人中不贊成這項舉措的人數(shù)為,求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(2x+ )+sin(2x﹣ )+2cos2x﹣1,x∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[ ]上的最大值和最小值.
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【題目】設(shè)a為實數(shù),函數(shù)f(x)=(x﹣a)2+|x﹣a|﹣a(a﹣1).
(1)若f(0)≤1,求a的取值范圍;
(2)求f(x)在R上的單調(diào)區(qū)間(無需使用定義嚴(yán)格證明,但必須有一定的推理過程);
(3)當(dāng)a>2時,求函數(shù)g(x)=f(x)+|x|在R上的零點個數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x+1|+|x|(x∈R)的最小值為a.
(1)求a;
(2)已知兩個正數(shù)m,n滿足m2+n2=a,求 的最小值.
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