【題目】設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=(x﹣a)2+|x﹣a|﹣a(a﹣1).
(1)若f(0)≤1,求a的取值范圍;
(2)求f(x)在R上的單調(diào)區(qū)間(無(wú)需使用定義嚴(yán)格證明,但必須有一定的推理過(guò)程);
(3)當(dāng)a>2時(shí),求函數(shù)g(x)=f(x)+|x|在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】
(1)解:f(0)=a2+|a|﹣a2+a=|a|+a,因?yàn)閒(0)≤1,所以|a|+a≤1,

當(dāng)a≤0時(shí),0≤1,顯然成立;當(dāng)a>0,則有2a≤1,所以 .所以

綜上所述,a的取值范圍是


(2)解: ,

對(duì)于y=x2﹣(2a﹣1)x,其對(duì)稱軸為 ,開(kāi)口向上,

所以f(x)在(a,+∞)上單調(diào)遞增;

對(duì)于y=x2﹣(2a+1)x,其對(duì)稱軸為 ,開(kāi)口向上,

所以f(x)在(﹣∞,a)上單調(diào)遞減.

綜上所述,f(x)在(a,+∞)上單調(diào)遞增,在(﹣∞,a)上單調(diào)遞減


(3)解:g(x)=

∵y1=x2+(2﹣2a)x的對(duì)稱軸為x=a﹣1,y2=x2﹣2ax+2a的對(duì)稱軸為x=a,y3=x2﹣(2a+2)x+2a的對(duì)稱軸為x=a+1,

∴g(x)在(﹣∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,a)上單調(diào)遞減,在(a,+∞)上單調(diào)遞增.

∵g(0)=2a>0,g(a)=a2+(2﹣2a)a=2a﹣a2=﹣(a﹣1)2+1,

∵a>2,∴g(a)=﹣(a﹣1)2+1在(2,+∞)上單調(diào)遞減,

∴g(a)<g(2)=0.

∴f(x)在(0,a)和(a,+∞)上各有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述,當(dāng)a>2時(shí),g(x)=f(x)+|x|有兩個(gè)零點(diǎn)


【解析】(1)根據(jù)f(0)≤1列不等式,對(duì)a進(jìn)行討論解出a的范圍;(2)根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸和開(kāi)口方向判斷單調(diào)區(qū)間;(3)寫(xiě)出g(x)的函數(shù)解析式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷g(x)的單調(diào)性,根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理判斷.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)是不在拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)向拋物線作兩條切線,切點(diǎn)分別為.

(1)如果點(diǎn)在直線上,求的值;

(2)若點(diǎn)在以為圓心,半徑為4的圓上,求的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=exax2-e2x.

(1)若曲線yf(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線平行于x軸,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若x>0時(shí),總有f(x)>-e2x,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù),f(1)=0,當(dāng)x<0時(shí),xf′(x)+f(x)>0,則使得f(x)<0成立的x的取值范圍是(
A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1)
B.(﹣1,0)∪(1,+∞)
C.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)
D.(﹣1,0)∪(0,1)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)二次函數(shù)f(x)滿足:對(duì)任意x∈R,都有f(x+1)+f(x)=2x2﹣2x﹣3
(1)求f(x)的解析式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)=a有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1 , x2 , 且滿足:﹣1<x1<2<x2 , 求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某校高三(1)班的一次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞,但可見(jiàn)部分如下,據(jù)此解答如下問(wèn)題:

(1)求全班人數(shù)及分?jǐn)?shù)在之間的頻數(shù);

(2)估計(jì)該班的平均分?jǐn)?shù),并計(jì)算頻率分布直方圖中間的矩形的高;

(3)若要從分?jǐn)?shù)在之間的試卷中任取兩份分析學(xué)生失分情況,在抽取的試卷中,求至少有一份分?jǐn)?shù)在之間的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知數(shù)列{an}中,a1=1,又?jǐn)?shù)列{ }(n∈N*)是公差為1的等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)傾斜角為α的直線: (t為參數(shù))與曲線C: (θ為參數(shù))相交于不同的兩點(diǎn)A,B.
(1)若α= ,求線段AB的長(zhǎng)度;
(2)若直線的斜率為 ,且有已知點(diǎn)P(2, ),求證:|PA||PB|=|OP|2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某種植基地將編號(hào)分別為1,2,3,4,5,6的六個(gè)不同品種的馬鈴薯種在如圖所示的

A

B

C

D

E

F

這六塊實(shí)驗(yàn)田上進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn),要求這六塊實(shí)驗(yàn)田分別種植不同品種的馬鈴薯,若種植時(shí)要求編號(hào)1,3,5的三個(gè)品種的馬鈴薯中至少有兩個(gè)相鄰,且2號(hào)品種的馬鈴薯不能種植在A、F這兩塊實(shí)驗(yàn)田上,則不同的種植方法有 ( )

A. 360種 B. 432種 C. 456種 D. 480種

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案