Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓:,設(shè)是橢圓上的任一點(diǎn)，從原點(diǎn)向圓：作兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)，.

（1）若直線，互相垂直，求圓的方程；

（2）若直線，的斜率存在，并記為，，求證：；

（3）試問是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．

Answer 1

（1）；（2）；（3）定值為36．

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)橹本�，互相垂直，且和圓相切，所以；再結(jié)合點(diǎn)在橢圓上，得到關(guān)于的方程組進(jìn)行求解；（2）設(shè)出的直線方程，利用直線與圓相切，得到與的關(guān)系；再根據(jù)在橢圓上，得出關(guān)系，整理即可；（3）分別聯(lián)立兩直線與橢圓的方程，得出的關(guān)系，借助進(jìn)行證明.

試題解析：（1）由圓的方程知，圓的半徑的半徑，

因?yàn)橹本�，互相垂直，且和圓相切，

所以，即，①

又點(diǎn)在橢圓上，所以，②

聯(lián)立①②，解得

所以所求圓的方程為．

（2）因?yàn)橹本�：，：，與圓相切，

所以,化簡得

同理，

所以是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C上，所以，即，

所以，即．

（3）是定值，定值為36，

理由如下：

法一：（i）當(dāng)直線不落在坐標(biāo)軸上時(shí),設(shè),

聯(lián)立解得

所以，同理，得，

由，

所以

（ii）當(dāng)直線落在坐標(biāo)軸上時(shí),顯然有，

綜上：．

法二：（i）當(dāng)直線不落在坐標(biāo)軸上時(shí),設(shè),

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032806004729635918/SYS201503280600529371161056_DA/SYS201503280600529371161056_DA.048.png">，所以,即，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015032806004729635918/SYS201503280600529371161056_DA/SYS201503280600529371161056_DA.035.png">在橢圓C上，所以，

即，

所以，整理得，

所以，

所以．

（ii）當(dāng)直線落在坐標(biāo)軸上時(shí),顯然有，

綜上：．

考點(diǎn)：1.直線與圓的位置關(guān)系；2.直線與橢圓的位置關(guān)系；3.定值問題．