Question

4．若函數(shù)y=a^x（a＞0，且a≠1）與函數(shù)y=x²的圖象在某一交點(diǎn)處的切線重合，則a=${e}^{\frac{2}{e}}$．

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=x²、g（x）=a^x，公共點(diǎn)（x₀，y₀），根據(jù)題意得：f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），列出方程組求出a的值．

解答 解：設(shè)f（x）=x²與g（x）=a^x在公共點(diǎn)（x₀，y₀）處的切線相同，
f′（x）=2x，g′（x）=lna•a^x，
由題意知f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g′（x₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{{x}_{0}}={{x}_{0}}^{2}}\\{2{x}_{0}=lna{•a}^{{x}_{0}}}\end{array}\right.$，解得a=${e}^{\frac{2}{e}}$，
故答案為：${e}^{\frac{2}{e}}$．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及方程思想，考查化簡求解能力，熟練掌握其求解的方法步驟是解題的關(guān)鍵．