14.在△ABC中,$BC=2\sqrt{2}$,AC=2,且$cos({A+B})=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$.
(Ⅰ)求AB的長(zhǎng)度; 
(Ⅱ)若f(x)=sin(2x+C),求y=f(x)與直線$y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$相鄰交點(diǎn)間的最小距離.

分析 (Ⅰ)利用誘導(dǎo)公式求得cosC,可得C的值,咋利用余弦定理求得AB的長(zhǎng)度.
(Ⅱ)由f(x)=sin(2x+C),求得x1、x2的值,可得|x1-x2|的最小值.

解答 解:(Ⅰ)∵$cosC=cos[{π-({A+B})}]=-cos({A+B})=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,∴C=45°.
∵$BC=2\sqrt{2}$,AC=2,∴$A{B^2}=A{C^2}+B{C^2}-2AC•BCcosC={(2\sqrt{2})^2}+{2^2}-8\sqrt{2}cos{45^0}$=4,∴AB=2.
(Ⅱ)由$f(x)=sin(2x+\frac{π}{4})=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,解得 $2x+\frac{π}{4}=2kπ+\frac{π}{3}$或$2x+\frac{π}{4}=2kπ+\frac{2π}{3}$,k∈Z,
解得${x_1}={k_1}π+\frac{π}{24}$,或${x_2}={k_2}π+\frac{5π}{24}$,k1,k2∈Z.
因?yàn)?nbsp;$|{{x_1}-{x_2}}|=|{({k_1}-{k_2})π+\frac{π}{6}}|≥\frac{π}{6}$,當(dāng)k1=k2時(shí)取等號(hào),
所以 當(dāng)$f(x)=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$時(shí),相鄰兩交點(diǎn)間最小的距離為$\frac{π}{6}$.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查誘導(dǎo)公式,余弦定理,正弦函數(shù)的圖象特征,屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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