Question

15．如圖，正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2，E，F(xiàn)分別為SA，SD的中點．
（1）證明：EF∥平面SBC；
（2）若平面BEF⊥平面SAD，求S-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的中位線的性質(zhì)證明EF∥AD，進而證明EF∥BC，利用線面平行的判定定理證明：EF∥平面SBC；
（2）取AD的中點G，連接SG交EF于點H，連接BH，BG，證明SG⊥平面BEF，利用錐體的體積公式求S-ABCD的體積．

解答 （1）證明：因為E，F(xiàn)分別是SA，SD的中點，所以EF∥AD，
又因為AD∥BC，所以EF∥BC，
又BC?平面SBC，所以EF∥平面SBC．-------------（4分）．
（2）解：取AD的中點G，連接SG交EF于點H，連接BH，BG，
則由題意可得SG⊥EF，H是SG的中點，
因為平面BEF⊥平面SAD，且平面BEF∩平面SAD=EF，
所以SG⊥平面BEF，SG⊥BH，所以BG=BS=$\sqrt{5}$，
根據(jù)勾股定理可得$h=\sqrt{3}$，
所以${V_{S-ABCD}}=\frac{1}{3}×h×{S_{ABCD}}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．------（12分）

點評 本題考查線面平行的判定，考查平面與平面垂直的性質(zhì)，考查錐體體積的計算，正確運用線面平行的判定定理是關(guān)鍵．