Question

6．如圖，AB為⊙O的直徑，∠ABD=90°，線段AD交半圓于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作半圓切線與線段BD交于點(diǎn)M，與線段BA延長線交于點(diǎn)F．
（Ⅰ）求證：M為BD的中點(diǎn)；
（Ⅱ）已知AB=4，AC=$\frac{2\sqrt{30}}{5}$，求AF的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用切線長定理和切線的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，即可得證；
（Ⅱ）由FC是半圓的切線，運(yùn)用弦切角定理，運(yùn)用相似三角形的判定定理可得△FCB∽△FAC，再由相似三角形的性質(zhì)和圓的切割線定理，計(jì)算即可得到所求AF的長．

解答 解：（Ⅰ）由MB，MC分別為半圓的切線，可得MC=MB，
連結(jié)BC，由已知得BC⊥CD，
由∠MCB=∠MBC且∠MCB+∠DCM=∠CBM+∠CDM，
即有∠DCM=∠CDM，DM=CM，
又CM=MB，可得DM=DB，M為BD的中點(diǎn)；
（Ⅱ）由FC是半圓的切線，
由弦切角定理有∠FBC=∠FCA，且∠CFB=∠AFC，
∴△FCB∽△FAC，∴$\frac{FC}{AF}$=$\frac{BC}{AC}$，∴FC=$\frac{AF•BC}{AC}$，
由切割線定理知FC²=FA•FB，
∴$\frac{A{F}^{2}•B{C}^{2}}{A{C}^{2}}$=FA•FB，
由AB=4，AC=$\frac{2\sqrt{30}}{5}$，
∴AF=$\frac{A{C}^{2}•FB}{B{C}^{2}}$=$\frac{A{C}^{2}•（FA+4）}{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\frac{\frac{24}{5}（AF+4）}{16-\frac{24}{5}}$，
解得AF=3．

點(diǎn)評 本題考查圓的切線的性質(zhì)、切割線定理和弦切角定理、勾股定理的運(yùn)用，考查相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理的運(yùn)用，考查推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．