Question

1．以直角坐標(biāo)系xoy的坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)，曲線C₁的極坐標(biāo)方程是ρ=$\frac{6}{\sqrt{4+5si{n}^{2}θ}}$，曲線C₂的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\\{\;}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）
（1）寫出曲線C₁，C₂的普通方程；
（2）設(shè)曲線C₁與y軸相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為曲線C₂上任一點(diǎn)，求|PA|²+|PB|²的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的極坐標(biāo)方程是ρ=$\frac{6}{\sqrt{4+5si{n}^{2}θ}}$，兩邊平方可得：4ρ²+5ρ²sin²θ=36，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，ρ²=x²+y²即可得出普通方程．曲線C₂的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\\{\;}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用cos²θ+sin²θ=1，可得普通方程．
（2）由（1）可得：A，B的坐標(biāo)分別為：（0，2），（0，-2），設(shè)P（2+2cosθ，2+2sinθ），可得|PA|²+|PB|²=32+16$\sqrt{2}$$sin（θ+\frac{π}{4}）$，即可得出．

解答 解：（1）曲線C₁的極坐標(biāo)方程是ρ=$\frac{6}{\sqrt{4+5si{n}^{2}θ}}$，兩邊平方可得：4ρ²+5ρ²sin²θ=36，
可得普通方程：4x²+9y²=36，即$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
曲線C₂的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\\{\;}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
利用cos²θ+sin²θ=1，可得普通方程：（x-2）²+（y-2）²=4．
（2）由（1）可得：A，B的坐標(biāo)分別為：（0，2），（0，-2），
設(shè)P（2+2cosθ，2+2sinθ），
∴|PA|²+|PB|²=（2+2cosθ）²+（2sinθ）²+（2+2cosθ）²+（4+2sinθ）²=32+16$\sqrt{2}$$sin（θ+\frac{π}{4}）$
∈$[32-16\sqrt{2}，32+16\sqrt{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程與普通方程化為普通方程、兩點(diǎn)之間的距離公式、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．