Question

5．已知點F₁，F₂分別為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點，且橢圓C的短軸長為2，點P為橢圓上任意一點，點P到焦點F₂的距離的最大值為$\sqrt{2}$+1．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若動直線l與橢圓C有且只有一個公共點，則在x軸上是否存在兩個定點，使它們到直線l的距離之積為1？若存在，請求出這兩個定點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得b=1，點P到焦點F₂的距離的最大值為$\sqrt{2}$+1，即為a+c=$\sqrt{2}$+1，再由a，b，c的關系，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）分類討論，利用直線l與橢圓C有只有一個公共點，確定k，p的關系，設在x軸上存在兩點（s，0），（t，0），使其到直線l的距離之積為1，建立方程，即可求得結論．

解答 解：（1）由題意可得2b=2，即b=1，
點P到焦點F₂的距離的最大值為$\sqrt{2}$+1，即為a+c=$\sqrt{2}$+1，
又a²-b²=c²，解得a=$\sqrt{2}$，c=1，
可得橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）①當直線l斜率存在時，設直線l方程為y=kx+p，
代入橢圓方程得（1+2k²）x²+4kpx+2p²-2=0．
因為直線l與橢圓C有只有一個公共點，
所以△=16k²p²-4（1+2k²）（2p²-2）=8（1+2k²-p²）=0，
即1+2k²=p²．
設在x軸上存在兩點（s，0），（t，0），使其到直線l的距離之積為1，
則$\frac{|ks+p|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$•$\frac{|kt+p|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|{k}^{2}st+kp（s+t）+{p}^{2}|}{1+{k}^{2}}$=1，
即（st+1）k+p（s+t）=0（*），或（st+3）k²+（s+t）kp+2=0 （**）．
由（*）恒成立，得$\left\{\begin{array}{l}{st+1=0}\\{s+t=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{s=1}\\{t=-1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{s=-1}\\{t=1}\end{array}\right.$，
而（**）不恒成立．
②當直線l斜率不存在時，直線方程為x=±$\sqrt{2}$時，
定點（-1，0）、F₂（1，0）到直線l的距離之積d₁?d₂=（$\sqrt{2}$-1）（$\sqrt{2}$+1）=1．
綜上，存在兩個定點（1，0），（-1，0），使其到直線l 的距離之積為定值1．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查存在性問題的研究，考查學生的計算能力，同時考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．