13.已知$\frac{1}{tanα}$+tanα=$\frac{5}{2}$,則2sin2(3π-α)-3cos($\frac{π}{2}$+α)•sin($\frac{3π}{2}$-α)+2的值為$\frac{12}{5}$或$\frac{6}{5}$.

分析 由已知方程可解得tanα,由三角函數(shù)公式弦化切可得要求的式子為關(guān)于tanα的式子,代值計(jì)算可得.

解答 解:∵$\frac{1}{tanα}$+tanα=$\frac{5}{2}$,∴2tan2α-5tanα+2=0,
解得tanα=2或tanα=$\frac{1}{2}$
∴2sin2(3π-α)-3cos($\frac{π}{2}$+α)•sin($\frac{3π}{2}$-α)+2
=2sin2α-3(-sinα)•(-cosα)+2
=2sin2α-3sinαcosα+2sin2α+2cos2α
=4sin2α-3sinαcosα+2cos2α
=$\frac{4si{n}^{2}α-3sinαcosα+2co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$
=$\frac{4ta{n}^{2}α-3tanα+2}{ta{n}^{2}α+1}$,
分別把tanα=2,tanα=$\frac{1}{2}$代入計(jì)算可得原式=$\frac{12}{5}$或$\frac{6}{5}$
故答案為:$\frac{12}{5}$或$\frac{6}{5}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)恒等變換,弦化切是解決問(wèn)題的關(guān)鍵,屬中檔題.

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