Question

14．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，A為橢圓在第一象限的點(diǎn)，直線OA交橢圓于另一點(diǎn)B，橢圓的左焦點(diǎn)為F，若直線AF平分線段BC，則橢圓的離心率等于$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由題意可得C（-a，0），F(xiàn)（-c，0），設(shè)A（m，n），可得B（-m，-n），運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，結(jié)合離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由題意可得C（-a，0），F(xiàn)（-c，0），
設(shè)A（m，n），可得B（-m，-n），
可得BC的中點(diǎn)H為（-$\frac{a+m}{2}$，-$\frac{n}{2}$），
由A，F(xiàn)，H三點(diǎn)共線，可得：
k_AF=k_HF，
即為$\frac{n}{m+c}$=$\frac{\frac{n}{2}}{-c+\frac{a+m}{2}}$，
即m+c=-2c+a+m，
即有a=3c，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和三點(diǎn)共線的條件：斜率相等，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．