Question

19．隨著人口老齡化的到來，我國的勞動力人口在不斷減少，“延遲退休”已經(jīng)成為人們越來越關(guān)注的話題，為了了解公眾對“延遲退休”的態(tài)度，某校課外研究性學(xué)習(xí)小組對某社區(qū)隨機(jī)抽取了5人進(jìn)行調(diào)查，將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成下表：

年齡	[20，25）	[25，30）	[30，35）	[35，40）	[40，45）
人數(shù)	4	5	8	5	3
年齡	[45，50）	[50，55）	[55，60）	[60，65）	[65，70）
人數(shù)	6	7	3	5	4

年齡在[25，30），[55，60）的被調(diào)查者中贊成人數(shù)分別是3人和2人，現(xiàn)從這兩組的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取2人，進(jìn)行跟蹤調(diào)查．
（Ⅰ）求年齡在[25，30）的被調(diào)查者中選取的2人都是贊成的概率；
（Ⅱ）求選中的4人中，至少有3人贊成的概率；
（Ⅲ）若選中的4人中，不贊成的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用古典概型的概率公式，求出年齡在[25，30）的被調(diào)查者中選取的2人都是贊成的概率；
（Ⅱ）利用古典概型的概率公式，互斥事件的概率公式，求選中的4人中，至少有3人贊成的概率；
（Ⅲ）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ） 設(shè)“年齡在[25，30）的被調(diào)查者中選取的2人都是贊成”為事件A，
所以$P（A）=\frac{C_3^2}{C_5^2}=\frac{3}{10}$．…（3分）
（Ⅱ） 設(shè)“選中的4人中，至少有3人贊成”為事件B，
所以$P（B）=\frac{C_3^2C_2^1C_1^1}{C_5^2C_3^2}+\frac{C_3^1C_2^1C_2^2}{C_5^2C_3^2}+\frac{C_3^2C_2^2}{C_5^2C_3^2}=\frac{1}{2}$．…（7分）
（Ⅲ）X的可能取值為0，1，2，3．
所以$P（X=0）=\frac{C_3^2C_2^2}{C_5^2C_3^2}=\frac{1}{10}$，$P（X=1）=\frac{C_3^1C_2^1C_2^2+C_3^2C_2^1C_1^1}{C_5^2C_3^2}=\frac{2}{5}$，
$P（X=2）=\frac{C_2^2C_2^2+C_3^1C_2^1C_2^1C_1^1}{C_5^2C_3^2}=\frac{13}{30}$，$P（X=3）=\frac{C_2^2C_2^1C_1^1}{C_5^2C_3^2}=\frac{1}{15}$．…（11分）
所以X的分布列是

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{13}{30}$	$\frac{1}{15}$

…（12分）
所以EX=0×$\frac{1}{10}$+1×$\frac{2}{5}$+2×$\frac{13}{30}$$+3×\frac{1}{15}$=$\frac{22}{15}$．…（13分）

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題．