Question

6．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，右焦點(diǎn)F（1，0），M，N是橢圓上關(guān)于x軸對稱的兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知Q（2，0），若MF與QN相交于點(diǎn)P，證明：點(diǎn)P在橢圓C上．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：列方程組，求得a和b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)M，N的坐標(biāo)，求得直線MF和NQ的方程，聯(lián)立解得P點(diǎn)坐標(biāo)，將P點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，滿足橢圓C的方程，即點(diǎn)P在橢圓C上．

解答 解：（Ⅰ）由已題意可知，得$\left\{\begin{array}{l}c=1\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$…（3分）
解得：$a=\sqrt{2}$，b=1，…（5分）
因此橢圓C的方程為：$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（6分）
（Ⅱ）證明：根據(jù)題意可設(shè)M，N的坐標(biāo)分別為（x₀，y₀），（x₀，-y₀）（y₀≠0）則
直線MF的方程為$x=\frac{{{x_0}-1}}{y_0}y+1$，①
直線NQ的方程為$x=\frac{{2-{x_0}}}{y_0}y+2$．②…（8分）
聯(lián)立①②解得$x=\frac{{3{x_0}-4}}{{2{x_0}-3}}$，$y=\frac{y_0}{{2{x_0}-3}}$，即$P（\frac{{3{x_0}-4}}{{2{x_0}-3}}，\frac{y_0}{{2{x_0}-3}}）$．…（11分）
由$\frac{{{x_0}^2}}{2}+{y_0}^2=1$，可得${y_0}^2=1-\frac{{{x_0}^2}}{2}$．
∵$\frac{1}{2}{（\frac{{3{x_0}-4}}{{2{x_0}-3}}）^2}+{（\frac{y_0}{{2{x_0}-3}}）^2}=\frac{{{{（3{x_0}-4）}^2}}}{{2{{（2{x_0}-3）}^2}}}+\frac{{2-{x_0}^2}}{{2{{（2{x_0}-3）}^2}}}$=$\frac{{8{x_0}^2-24{x_0}+18}}{{2{{（2{x_0}-3）}^2}}}=\frac{{2{{（2{x_0}-3）}^2}}}{{2{{（2{x_0}-3）}^2}}}=1$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)滿足橢圓C的方程，即點(diǎn)P在橢圓C上．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．