Question

16．在△ABC中，A，B，C是三角形的三個內角，a，b，c是三個內角對應的三邊，已知b²+c²-a²-$\sqrt{2}$bc=0．
（1）求角A的大�。�
（2）若sin²B+sin²C=2sin²A，且a=3，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理可知cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則A=$\frac{π}{4}$；
（2）根據正弦定理b²+c²=2a²，代入b²+c²-a²=$\sqrt{2}$bc，求得a²=$\sqrt{2}$bc，由三角形面積公式S=$\frac{1}{2}$bcsinA，即可求得△ABC的面積．

解答 解：（1）由題意可知b²+c²-a²=$\sqrt{2}$bc，
由余弦定理可知：cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{2}bc}{2bc}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴A=$\frac{π}{4}$，
（2）由正弦定理可知：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，
由sin²B+sin²C=2sin²A，
∴b²+c²=2a²，
由（1）可知：a²=$\sqrt{2}$bc，
∴bc=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，
△ABC的面積S，S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×$\frac{9\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{9}{4}$．
∴△ABC的面積$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查正弦定理及余弦定理的應用，考查三角形面積公式，考查計算能力，屬于中檔題．