Question

【題目】已知橢圓：（）．下面表格所確定的點中，恰有三個點在橢圓上．

			1
		0

（1）求橢圓的方程；

（2）已知為坐標(biāo)原點，點，分別為的上下頂點，直線經(jīng)過的右頂點，且與的另一個公共點為，直線，相交于點，若與軸的交點異于，，證明為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）點和點關(guān)于原點對稱，此兩點必在橢圓上，故有，將剩余兩個點的坐標(biāo)代入橢圓方程可得關(guān)于a與b的方程，與上式聯(lián)立通過判斷解的情況即可判斷出那個點在橢圓上，進(jìn)而求出方程；

（2）設(shè)直線l的方程為：，由題易得 ，聯(lián)立直線l與橢圓E的方程得：，由韋達(dá)定理得到和的表達(dá)式，

設(shè)點，直線AC的方程為：，直線BD的方程為：，

聯(lián)立直線AC的方程和直線BD的方程得到點N的坐標(biāo)，進(jìn)而求出向量，

而，即可證明為定值．

（1）點和點關(guān)于原點對稱，此兩點必在橢圓上，

故有①，

將點代入中得，，解得：，

再將代入①中得：，解得：；

再將點代入中得，②，聯(lián)立①②得：，顯然無解；

綜上，，，所以橢圓的方程為：；

（2）由題意作圖如下：

設(shè)直線l的方程為：，由條件知：，點，點，點，

則點，向量，

設(shè)點，

聯(lián)立直線l與橢圓E的方程，消去y得：，

所以，

直線AC的方程為：③，

直線BD的方程為：④，

設(shè)點，由③④，得：，

又點在直線l上，所以：

，

則向量，

所以，

故為定值.