Question

【題目】如圖，將長(zhǎng)方形OAA1O1(及其內(nèi)部)繞OO1旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，其中，弧的長(zhǎng)為，AB為⊙O的直徑.

（1）在弧上是否存在點(diǎn)(，在平面的同側(cè))，使，若存在，確定其位置，若不存在，說(shuō)明理由.

（2）求二面角的余弦值

Answer 1

【答案】（1）存在，當(dāng)為圓柱的母線時(shí)，；（2）.

【解析】

（1）當(dāng)為圓柱的母線時(shí)，連接，，，根據(jù)平面得到，根據(jù)圓的直徑為得到，從而得到平面，再利用線面垂直的性質(zhì)即可得到.

（2）首先以為原點(diǎn)，，分別為，軸，垂直于，軸直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別計(jì)算平面和平面的法向量，代入公式計(jì)算即可.

存在，當(dāng)為圓柱的母線時(shí)，.

如圖所示：

連接，，，

因?yàn)?/span>為圓柱的母線，所以平面，

又因?yàn)?/span>平面，所以.

因?yàn)?/span>為圓的直徑，所以.

，，，所以平面.

因?yàn)?/span>平面，所以.

（2）以為原點(diǎn)，，分別為，軸，

垂直于，軸直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

，，，

因?yàn)?/span>的長(zhǎng)為，所以，

，.

設(shè)平面的法向量，

，令，解得，.

所以.

因?yàn)?/span>軸垂直平面，所以設(shè)平面的法向量.

所以，

因?yàn)槎�面�?/span>的平面角為銳角，所以其余弦值為.