Question

設(shè)f（x）=lg（ax²-2x+a），
（1）若f（x）的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）若f（x）的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）=lg（ax²-2x+a）的定義域是實(shí)數(shù)集，說(shuō)明對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有ax²-2x+a＞0成立，則該二次三項(xiàng)式對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)應(yīng)開(kāi)口向上，且圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，由二次項(xiàng)系數(shù)大于0，且判別式小于0聯(lián)立不等式組求解a的取值范圍；
（2）只有內(nèi)層函數(shù)（二次函數(shù)）對(duì)應(yīng)的圖象開(kāi)口向上，且與x軸有交點(diǎn)，真數(shù)才能取到大于0的所有實(shí)數(shù)，由此列式求解a的取值集合．

解答：解：（1）∵f（x）=lg（ax²-2x+a）的定義域?yàn)镽，
∴對(duì)任意x∈R都有ax²-2x+a＞0恒成立，
則

a＞0 (-2)2-4a2＜0

，解得：a＞1．
∴使f（x）的定義域?yàn)镽的實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，+∞）；
（2）∵f（x）=lg（ax²-2x+a）的值域?yàn)镽，
∴ax²-2x+a能取到大于0的所有實(shí)數(shù)，
則

a＞0 (-2)2-4a2≥0

，解得：0＜a≤1．
∴使f（x）的值域?yàn)镽的實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，考查了函數(shù)的值域問(wèn)題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答的關(guān)鍵是對(duì)題意的理解，是中檔題．