Question

設(shè)f（x）=lg[

1+2x+4xa

3

]，其中a∈R，如果當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，f（x）有意義，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：當(dāng)a=0時(shí)，真數(shù)

1+2x

3

恒大于0，成立；當(dāng)a≠0時(shí)，x＜1，0＜2^x≤2¹=2，設(shè)b=2^x，則4^x=b²，0＜b≤2，

1+2x+4xa

3

=

ab2+b+1

3

＞0，即ab²+b+1＞0，所以a（b+

1

2a

）²-

1

4a

+1＞0．由此進(jìn)行分類(lèi)討論，能夠求出a的取值范圍．

解答：解：當(dāng)a=0時(shí)，真數(shù)

1+2x

3

恒大于0，成立；
當(dāng)a≠0時(shí)，
x＜1，0＜2^x≤2¹=2
設(shè)b=2^x，
則4^x=b²，0＜b≤2，

1+2x+4xa

3

=

ab2+b+1

3

＞0，
即ab²+b+1＞0，
a（b+

1

2a

）²-

1

4a

+1＞0，
當(dāng)0＜b≤2時(shí)成立，
當(dāng)-

1

2a

≤0，a＞0時(shí)，
則a（b+

1

2a

）²-

1

4a

+1開(kāi)口向上，-

1

2a

≤0＜b≤2，
∴二次函數(shù)是增函數(shù)，
∴f（b）=a（b+

1

2a

）²-

1

4a

+1＞f（0）=1＞0，成立．
當(dāng)0＜-

1

2a

≤1，a≤-

1

2

時(shí)，
則a（b+

1

2a

）²-

1

4a

+1開(kāi)口向下，
且b=2時(shí)有最小值
∴f（2）=4a+3＞0，a＞-

3

4

，
∴-

3

4

＜a≤-

1

2

．
當(dāng)1＜-

1

2a

≤2，-

1

2

＜a≤-

1

4

時(shí)，
則a（b+

1

2a

）²-

1

4a

+1開(kāi)口向下，
且b=0時(shí)有最小值，但b不取0
∴f（0）=1＞0，成立．
-

1

2

＜a≤-

1

4

．
當(dāng)-

1

2a

＞2，-

1

4

＜a＜0時(shí)，
則a（b+

1

2a

）²-

1

4a

+1開(kāi)口向下，
0＜b≤2＜-

1

2a

，
∴f（b）是增函數(shù)
∴f（b）＞f（0）=1＞0，成立
∴-

1

4

＜a＜0．
綜上所述：a＞-

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合運(yùn)用，綜合性強(qiáng)，難度較大．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意換元思想、整體思想和分類(lèi)討論思想的靈活運(yùn)用．易錯(cuò)點(diǎn)是分類(lèi)不清，考慮不全，造成“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”的錯(cuò)誤．