Question

7．在平面直角坐標系內(nèi)，已知兩點E（-1，0），F(xiàn)（1，0），若將動點P（x，y）的縱坐標保持不變，橫坐標擴大到原來的$\sqrt{2}$倍后得到點Q（$\sqrt{2}$x，y），且滿足$\overrightarrow{EQ}$•$\overrightarrow{FQ}$=3，直線l經(jīng)過y軸上一點M（0，m），且與動點P的軌跡C交于相異兩點A，B，且$\overrightarrow{AM}$=3$\overrightarrow{MB}$
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設點P的坐標為（x，y），則點Q的坐標為（$\sqrt{2}$x，y），表示出$\overrightarrow{EQ}$=（$\sqrt{2}$x+1，y），$\overrightarrow{FQ}$=（$\sqrt{2}$x-1，y），利用$\overrightarrow{EQ}$•$\overrightarrow{FQ}$=3，即可求得動點P所在曲線C的方程；
（2）先設l與橢圓C交點為A、B的坐標，然后聯(lián)立直線和橢圓方程消去y，得到關于x的一元二次方程，進而得到兩根之和、兩根之積，再表示出$\overrightarrow{AM}$=3$\overrightarrow{MB}$，將兩根之和、兩根之積代入，整理可得m的不等式，解出m的范圍．

解答 解：（1）設點P的坐標為（x，y），
則點Q的坐標為（$\sqrt{2}$x，y）．
依據(jù)題意，有$\overrightarrow{EQ}$=（$\sqrt{2}$x+1，y），$\overrightarrow{FQ}$=（$\sqrt{2}$x-1，y）．
∵$\overrightarrow{EQ}$•$\overrightarrow{FQ}$=3，
∴2x²-1+y²=3．
∴動點P所在曲線C的方程是$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）設l與橢圓C交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{2{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$得（k²+2）x²+2kmx+（m²-4）=0，
△=（2km）²-4（k²+2）（m²-4）=2k²-m²+4＞0（*）
x₁+x₂=$\frac{-2km}{2+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{2+{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{AM}$=3$\overrightarrow{MB}$，∴-x₁=3x₂
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-2{x}_{2}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=-3{{x}_{2}}^{2}}\end{array}\right.$，得3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，
∴3（$\frac{-2km}{2+{k}^{2}}$）²+4•$\frac{{m}^{2}-4}{2+{k}^{2}}$=0，
整理得2k²m²+m²-2k²-4=0，
m²=1時，不成立；
m²≠1時，k²=$\frac{4-{m}^{2}}{2{m}^{2}-2}$，
由（*）式得k²＞$\frac{{m}^{2}-4}{2}$，
即有$\frac{4-{m}^{2}}{2{m}^{2}-2}$＞$\frac{{m}^{2}-4}{2}$，
解得-2＜m＜-1或1＜m＜2．
當直線的斜率不存在時，即直線為x=0，
可得交點為（0，2），（0，-2），此時M（0，1）或（0，-1）．
即所求m的取值范圍為（-2，-1]∪[1，2）．

點評 本題考查軌跡方程的求法，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理和向量共線的坐標表示，考查化簡整理的運算能力．