Question

19．求函數(shù)f（x）=x²-2ax+3在區(qū)間[1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 求f（x）的對(duì)稱軸為x=a，討論a和區(qū)間[1，3]的關(guān)系：分a≤1，1＜a＜3，a≥3，這三種情況，對(duì)于每種情況根據(jù)二次函數(shù)f（x）在[1，3]上的單調(diào)性，或取到頂點(diǎn)值，或比較端點(diǎn)值，這樣即可得出每種情況下的函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

解答 解：f（x）的對(duì)稱軸為x=a；
（1）若a≤1，則f（x）在[1，3]上單調(diào)遞增；
∴f（x）的最大值為f（3）=12-6a，最小值為f（1）=4-2a；
（2）若1＜a＜3，則f（a）=-a²+3是f（x）的最小值；
f（1）-f（3）=4a-8；
∴①1＜a≤2時(shí)，f（3）=12-6a為f（x）的最大值；
②2＜x＜3時(shí)，f（1）=4-2a為f（x）的最大值；
（3）若a≥3，則f（x）在[1，3]上單調(diào)遞減；
∴f（x）的最大值為f（1）=4-2a，最小值為f（3）=12-6a．

點(diǎn)評(píng) 考查二次函數(shù)的對(duì)稱軸的求解公式，二次函數(shù)的單調(diào)性，以及根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最大值、最小值，根據(jù)取得頂點(diǎn)的情況或比較端點(diǎn)值來求二次函數(shù)最值的方法，要熟悉二次函數(shù)的圖象．