【題目】如圖所示,海中一小島C周圍nmile內(nèi)有暗礁,貨輪由西向東航行至A處測得小島C位于北偏東75°方向上,航行8nmile后,于B處測得小島C在北偏東60°方向上.
(1)如果這艘貨輪不改變航向繼續(xù)前進,有沒有觸礁的危險?請說明理由.
(2)如果有觸礁的危險,這艘貨輪在B處改變航向為南偏東α°(α>0)方向航行,順利繞過暗礁,求a的最大值.(附:)
【答案】(1)有,詳見解析(2)a的最大值為
【解析】
(1)(方法一):過點C作AB的垂線,交AB延長線于點D.,在Rt△BCD中,可求出,從而可判斷是否有觸礁的危險;
(方法二)過點C作AB的垂線,交AB延長線于點D,設(shè)垂線段CD的長度為xnmile,BD為ynmile,從而可得進而可求出x=4,
(2)延長CD至E,使nmile,并連接BE,結(jié)合(1),在中即可求解.
解:(1)(方法一):有.
理由:如圖,過點C作AB的垂線,交AB延長線于點D.
由已知得∠CAB=15°,∠CBD=30°,所以∠ACB=15°,
所以AB=BC=8nmile,所以在Rt△BCD中,(nmile).
又,所以貨輪有觸礁的危險.
(方法二)有.
理由:如圖,過點C作AB的垂線,交AB延長線于點D,
設(shè)垂線段CD的長度為xnmile,BD為ynmile.
則即
所以,解得x=4.
因為,所以貨輪有觸礁的危險.
(2)如圖,延長CD至E,使nmile,并連接BE,
故nmile,
由(1)得nmile,
所以.
因為,
所以,即.
所以.
所以α的最大值為75.
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【題目】
對定義在區(qū)間上的函數(shù),若存在閉區(qū)間和常數(shù),使得對任意的都有,且對任意的都有恒成立,則稱函數(shù)為區(qū)間上的“U型”函數(shù)。
(1)求證:函數(shù)是上的“U型”函數(shù);
(2)設(shè)是(1)中的“U型”函數(shù),若不等式對一切的恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若函數(shù)是區(qū)間上的“U型”函數(shù),求實數(shù)和的值.
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【題目】已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)
(Ⅰ)求值;
(Ⅱ)判斷并證明該函數(shù)在定義域上的單調(diào)性;
(Ⅲ)若對任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅳ)設(shè)關(guān)于的函數(shù)有零點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).
(1)指出函數(shù)的基本性質(zhì):定義域,奇偶性,單調(diào)性,值域(結(jié)論不需證明),并作出函數(shù)的圖象;
(2)若關(guān)于的不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若關(guān)于的方程恰有個不同的實數(shù)解,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】如圖,要測量山頂上的電視塔FG的高度,已知山的西面有一棟樓AC(該樓的高度低于山的高度).試設(shè)計在樓AC上測山頂電視塔高度的測量、計算方案.
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【題目】已知函數(shù)的最大值為.
(1)若關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根為,求證:;
(2)當(dāng)時,證明函數(shù)在函數(shù)的最小零點處取得極小值.
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【題目】給出下列四個命題:
①回歸直線過樣本點中心(,)
②將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后,平均值不變
③將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后,方差不變
④在回歸方程=4x+4中,變量x每增加一個單位時,y平均增加4個單位
其中錯誤命題的序號是( 。
A.①B.②C.③D.④
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【題目】某育種基地對某個品種的種子進行試種觀察,經(jīng)過一個生長期培養(yǎng)后,隨機抽取株作為樣本進行研究。株高在及以下為不良,株高在到之間為正常,株高在及以上為優(yōu)等。下面是這個樣本株高指標(biāo)的莖葉圖和頻率分布直方圖,但是由于數(shù)據(jù)遞送過程出現(xiàn)差錯,造成圖表損毀。請根據(jù)可見部分,解答下面的問題:
(1)求的值并在答題卡的附圖中補全頻率分布直方圖;
(2)通過頻率分布直方圖估計這株株高的中位數(shù)(結(jié)果保留整數(shù));
(3)從育種基地內(nèi)這種品種的種株中隨機抽取2株,記表示抽到優(yōu)等的株數(shù),由樣本的頻率作為總體的概率,求隨機變量的分布列(用最簡分?jǐn)?shù)表示).
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【題目】已知橢圓的左右焦點與其短軸的一個端點是正三角形的三個頂點,點在橢圓上,直線與橢圓交于,兩點,與軸、軸分別相交于點和點,且,點是點關(guān)于軸的對稱點,的延長線交橢圓于點,過點、分別做軸的垂線,垂足分別為、.
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在直線,使得點平分線段,?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.
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