Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-kx（x∈R）
（Ⅰ）若k=e，試確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若k＞0且對任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，試確定實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）+f（-x），求證：F（1）•F（2）…F（n）＞（e^n+1）+2） 

n

2

（n∈N^*）．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先確定函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0，f′（x）＜0
（Ⅱ）f（|x|）是偶函數(shù)，只需研究f（x）＞0對任意x≥0成立即可，即當(dāng)x≥0時f（x）_min＞0
（Ⅲ）觀察結(jié)論，要證F（1）F（2）…F（n）＞（eⁿ⁺¹+2） 

n

2

（n∈N^*）．觀察F（1）F（n）=eⁿ⁺¹+e^-1+n+e^1-n+e^-1-n＞eⁿ⁺¹+2
F（2）F（n-1）=eⁿ⁺¹+e^-2+n+e^2-n+e^-1-n＞eⁿ⁺¹+2規(guī)律，問題得以解決．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=e^x-e，令f′（x）=0，解得x=1，
當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，∴f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（-∞，1）時，f′（x）＜0，∴f（x）在（-∞，1）單調(diào)遞減；…（4分）
（Ⅱ）因為f（|x|）為偶函數(shù)，∴f（|x|）＞0恒成立等價于f（x）＞0對x≥0恒成立，
當(dāng)x≥0時，f′（x）=e^x-k，令f′（x）=0，解得x=lnk
當(dāng)lnk＞0，即k＞1時，f（x）在（0，lnk）遞減，在（lnk，+∞）單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（lnk）=k-klnk＞0，解得1＜k＜e，
∴實數(shù)k的取值范圍1＜k＜e；                 …（9分）
（Ⅲ）函數(shù)F（x）=f（x）+f（-x）=e^x-e^-x，F(xiàn)（1）=e+e^-1，F(xiàn)（n）=eⁿ+e^-n，
F（1）F（n）=eⁿ⁺¹+e^-1+n+e^1-n+e^-1-n＞eⁿ⁺¹+2
F（2）F（n-1）=eⁿ⁺¹+e^-3+n+e^3-n+e^-1-n＞eⁿ⁺¹+2
…
F（n）F（1）＞eⁿ⁺¹+2
以上各式相乘得
[F（1）•F（2）…F（n）]²＞（eⁿ⁺¹+2）ⁿ
∴F（1）•F（2）…F（n）＞（eⁿ⁺¹+2） 

n

2

（n∈N^*）．             …（14分）

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、不等式恒成立以及不打算的證明方法等知識，考查運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法、分類討論、化歸等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題、解決問題的能力．