Question

如圖，橢圓與過(guò)A（2，0）、B（0，1）的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=，
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，求證|AT|²=|AF₁|·|AF₂|。

Answer 1

解：（Ⅰ）過(guò)A、B的直線方程為，
因?yàn)橛深}意得有惟一解，
即有惟一解，
所以（ab≠0），
故a²+4b²-4=0，
又因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111116/201111161128227501189.gif">，
所以a²=4b²， 從而得，
故所求的橢圓方程為。
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
所以，
由，解得x₁=x₂=1，因此，
從而，
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111116/201111161128229371111.gif">，
所以。