Question

（本小題滿分14分）已知，函數(shù)，.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）求證：對于任意的，都有.

 

Answer 1

（Ⅰ）的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為,；

（Ⅱ）略。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為,，

因為，所以，當(dāng)，或時，；

當(dāng)時，．

所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為,.

（Ⅱ）因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

又，，

所以，當(dāng)時，．

由，可得．

所以當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，

所以，當(dāng)時，．

所以，當(dāng)時，

對于任意的，都有，，所以．

當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，

所以，當(dāng)時，．

所以，當(dāng)時，

對于任意的，都有，，所以．

綜上，對于任意的，都有．

考點：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、等價轉(zhuǎn)化。