Question

（本小題滿分14分）已知，函數，.

（Ⅰ）求函數的單調區(qū)間；

（Ⅱ）求證：對于任意的，都有.

 

Answer 1

（Ⅰ）的單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為,；

（Ⅱ）略。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）函數的定義域為,，

因為，所以，當，或時，；

當時，．

所以，的單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為,.

（Ⅱ）因為在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，

又，，

所以，當時，．

由，可得．

所以當時，函數在區(qū)間上是增函數，

所以，當時，．

所以，當時，

對于任意的，都有，，所以．

當時，函數在區(qū)間上是增函數，在區(qū)間上是減函數，

所以，當時，．

所以，當時，

對于任意的，都有，，所以．

綜上，對于任意的，都有．

考點：導數與函數、函數的單調性、極值、最值、等價轉化。