Question

19．已知直角三角形的周長為6，則當(dāng)直角邊滿足什么條件時(shí)，可使其面積最大？

Answer 1

分析 設(shè)兩直角邊為a，b，則斜邊為$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，可得a+b+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=6，由基本不等式和不等式的解法可得ab的最大值，可得答案．

解答 解：設(shè)兩直角邊為a，b，則斜邊為$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，
由題意可得a+b+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=6
∴6=a+b+$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2ab}$=（2+$\sqrt{2}$）$\sqrt{ab}$，
變形可得$\sqrt{ab}$≤$\frac{6}{2+\sqrt{2}}$，可得ab≤54-36$\sqrt{2}$，
∴三角形面積S=$\frac{1}{2}$ab≤27-18$\sqrt{2}$
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=6-3$\sqrt{2}$時(shí)取等號．

點(diǎn)評 本題考查基本不等式求最值，涉及三角形的面積公式和不等式的解法，屬基礎(chǔ)題．