Question

10．函數(shù)f（x）=x²-4x+4的定義域?yàn)閇t-2，t-1]，求函數(shù)f（x）的最小值y=φ（t）的解析式，并求出函數(shù)y=φ（t）的最小值．

Answer 1

分析 求出f（x）的對(duì)稱軸，對(duì)t討論，當(dāng)t-1≤2即t≤3時(shí)，當(dāng)t-2＜2＜t-1，即為3＜t＜4時(shí)，當(dāng)t-2≥2，即t≥4時(shí)，運(yùn)用單調(diào)性，即可得到最小值，進(jìn)而得到函數(shù)y=φ（t）的最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=x²-4x+4的對(duì)稱軸為x=2，
當(dāng)t-1≤2即t≤3時(shí)，區(qū)間[t-2，t-1]為減區(qū)間，即有最小值為f（t-1）=（t-3）²；
當(dāng)t-2＜2＜t-1，即為3＜t＜4時(shí)，即有最小值為f（2）=0；
當(dāng)t-2≥2，即t≥4時(shí)，區(qū)間[t-2，t-1]為增區(qū)間，即有最小值為f（t-2）=（t-4）²．
則有y=φ（t）=$\left\{\begin{array}{l}{（t-3）^{2}，t≤3}\\{0，3＜t＜4}\\{（t-4）^{2}，t≥4}\end{array}\right.$；
當(dāng)t≤3時(shí)，y=（t-3）²的最小值為0；
當(dāng)3＜t＜4時(shí)，y=0；
當(dāng)t≥4時(shí)，y=（t-4）²的最小值為0．
綜上可得y=φ（t）的最小值為0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的最值的求法，注意討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．