Question

【題目】已知橢圓1()的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線(xiàn)與橢圓E交于B，C兩點(diǎn)（B，C不與A重合）.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若O，B，C三點(diǎn)不共線(xiàn)時(shí)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求面積的最大值；

（3）設(shè)直線(xiàn)AB，AC與軸的交點(diǎn)分別為P，Q，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）結(jié)合待定系數(shù)法和離心率公式及橢圓的關(guān)系式聯(lián)立解方程即可求解；

（2）聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，由韋達(dá)定理得x1+x2=﹣m，，表示出弦長(zhǎng)，由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式求得O到直線(xiàn)BC的距離d，結(jié)合面積公式化簡(jiǎn)可得S△OBC，由不等式性質(zhì)可求最值；

（3）畫(huà)出圖像，需將結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化，要求，即求∠AQP=∠APQ，即證kAP+kAQ=0，即證kAB+kAC=0，結(jié)合（2）化簡(jiǎn)即可得證；

（1）由題意可知:，解得，∴橢圓E的方程為：；

（2）由A不在l上，可知m≠1，由，得：x2+mx+m2﹣3=0，

∴△=m2﹣4(m2﹣3)=12﹣3m2>0，即﹣2<m<2，且m≠1，m≠0，設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，

∴x1+x2=﹣m，，

∴|BC|，

又∵點(diǎn)O到直線(xiàn)BC的距離d，

∴S△OBC，

當(dāng)且僅當(dāng)m（滿(mǎn)足△>0且m≠0，1）時(shí)，△OBC的面積取得最大值；

（3）

由（2）可知x1+x2=﹣m，，∴kAP+kAQ=kAB+kAC1

10，∴∠AQP=∠APQ，∴|AP|=|AQ|.