Question

9．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{10}x+1，x≤1\\ lnx-1，x＞1\end{array}\right.$，則方程f（x）=ax恰有一個(gè)實(shí)根時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-1]∪[1.1，+∞）∪{$\frac{1}{e^2}$}
• B． $（-1，\frac{1}{10}）$
• C． $（{-1，0}]∪（\frac{1}{10}，\frac{1}{e^2}）$
• D． $（-1，\frac{1}{e^2}）$

Answer 1

分析 由題意，方程f（x）=ax恰有一個(gè)實(shí)根，等價(jià)于y=f（x）與y=ax有1個(gè)交點(diǎn)，求出a的取值范圍．

解答 解：當(dāng)x≤1時(shí)f（x）=$\frac{1}{10}$x+1，
∴$\frac{1}{10}$x+1=ax，
∴a=$\frac{1}{10}$+$\frac{1}{x}$，
令g（x）=$\frac{1}{10}$+$\frac{1}{x}$，
∵x≤1 又g（x）在（-∞，0）和（0，1）上都是單調(diào)遞減的，
∴g（x）在x≤1上的值域是（-∞，0）∪[1.1，+∞），
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=lnx-1=ax，得到a=$\frac{lnx-1}{x}$，
令h（x）=$\frac{lnx-1}{x}$，
∵x＞1，∴h′（x）=$\frac{2-lnx}{{x}^{2}}$，
令h′（x）=0，得到2-lnx=0 得到x=e²，
∴h（x）在x屬于（1，e²）上單調(diào)增，在（e²，+∞）上單調(diào)減，
∴h（x）的最大值為h（e²）=$\frac{1}{{e}^{2}}$，
∵當(dāng)x＜e時(shí)，lnx-1＜0，而x趨向正無窮時(shí)，h（x）趨向0，
∴h（x）的最小值為h（1）=-1（但是開區(qū)間 因?yàn)閤＞1），
∴h（x）的值域是（-1，$\frac{1}{{e}^{2}}$），
∵f（x）=ax恰有一個(gè)實(shí)根，
∴a∈（-∞，-1]∪[1.1，+∞）∪{$\frac{1}{{e}^{2}}$}，
故選：A

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，以及分類討論的思想，以及函導(dǎo)數(shù)數(shù)與函數(shù)最值問題，進(jìn)行解答，是易錯(cuò)題．