Question

16．已知|$\overrightarrow{OA}$|=1，|$\overrightarrow{OB}$|=2，|$\overrightarrow{OP}$|=（1-t）|$\overrightarrow{OA}$|，|$\overrightarrow{OQ}$|=t|$\overrightarrow{OB}$|，0≤t≤1，|$\overrightarrow{PQ}$|在t₀時取得最小值，當(dāng)0＜t₀＜$\frac{1}{5}$時，求$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角范圍．

Answer 1

分析 由向量的運(yùn)算可得|$\overrightarrow{PQ}$|²=（5+4cosθ）t²+（-2-4cosθ）t+1，由二次函數(shù)可得0＜$\frac{1+2cosθ}{5+4cosθ}$＜$\frac{1}{5}$，解不等式可得cosθ的范圍，可得夾角的范圍．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角為θ，
由題意可得 $\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=2×1×cosθ=2cosθ，
$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{OQ}$-$\overrightarrow{OP}$=t$\overrightarrow{OB}$-（1-t）$\overrightarrow{OA}$，
∴|$\overrightarrow{PQ}$|²=$\overrightarrow{PQ}$²=t²$\overrightarrow{OB}$²+（1-t）²$\overrightarrow{OA}$²-2t（1-t）$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=（1-t）²+4t²-4t（1-t）cosθ，
=（5+4cosθ）t²+（-2-4cosθ）t+1
由二次函數(shù)知當(dāng)上式取最小值時，t₀=$\frac{1+2cosθ}{5+4cosθ}$，
由題意可得0＜$\frac{1+2cosθ}{5+4cosθ}$＜$\frac{1}{5}$，
解得-$\frac{1}{2}$＜cosθ＜0，
∴$\frac{π}{2}$＜θ＜$\frac{2π}{3}$，
故$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角范圍為：（$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)量積與向量的夾角，涉及二次函數(shù)和三角函數(shù)的運(yùn)算，屬中檔題．