Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=-f（x-2），且在區(qū)間[0，2]上是減函數(shù)．若方程f（x）=m（m＞0）在區(qū)間[-8，8]上有四個不同的根x₁，x₂，x₃，x₄，則x₁+x₂+x₃+x₄=（　�。�

• A、-8
• B、8
• C、4
• D、-4

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由條件“f（x+2）=-f（x-2），”得f（x+8）=f（x），說明此函數(shù)是周期函數(shù)，又是奇函數(shù)，且在[0，2]上為增函數(shù)，由這些畫出示意圖，由圖可解決問題．

解答： 解：解：∵f（x+2）=-f（x-2）
∴f（x+4）=-f（x）
∴f（x+8）=-f（x+4）
即 f（x）=f（x+8）
∴f（x）是一個周期函數(shù)，周期為8，
又函數(shù)是奇函數(shù)，所以f（x）關(guān)于原點(diǎn)對稱．
由f（x）在[0，2]上是減函數(shù)，可做函數(shù)圖象示意圖如圖：

設(shè)x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
∵f（x）關(guān)于y軸對稱，結(jié)合周期性知，函數(shù)關(guān)于x=4對稱
∴x₁+x₂=-4^_且x₃+x₄=12，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=8，
故選：B．

點(diǎn)評：數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷．