設向量
OA
=(3，-
3
)，
OB
=(cosθ，sinθ)，其中0≤θ≤
π
2
．
（1）若|
AB
|=
13
，求tanθ的值；
（2）求△AOB面積的最大值．
分析：（1）先利用向量的減法求出
AB
，在代入向量的模長計算公式整理即可求出tanθ的值；
（2）先利用θ的范圍求出∠AOB，在代入三角形面積計算公式，利用θ的取值范圍，即可求出△AOB面積的最大值．
解答：解：（1）：依題意得，
AB
=
OB
-
OA
=(cosθ-3，sinθ+
3
)，…（2分）
所以|
AB
|2=(cosθ-3)2+(sinθ+
3
)2=13-6cosθ+2
3
sinθ=13，…（4分）
所以
3
sinθ=3cosθ．因為cosθ≠0，所以tanθ=
3
．…（7分）
（2）：由0≤θ≤
π
2
，得∠AOB=θ+
π
6
．…（9分）
所以S△AOB=
1
2
|
OA
||
OB
|sin∠AOB=
1
2
×2
3
×1×sin(θ+
π
6
)=
3
sin(θ+
π
6
)…（12分）
所以當θ=
π
3
時，△AOB的面積取得最大值
3
．…（14分）
點評：本題主要考查平面向量的綜合知識．解決第二問的關鍵是會用三角形的面積計算公式，且注意考慮角的范圍．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

平面直角坐標系中，O為坐標原點，設向量
OA
=
a
，
OB
=
b
，其中
a
=(3，1)，
b
=(1，3)，若
OC
=λ
a
+μ
b
，且0≤μ≤λ≤1，那么C點所有可能的位置區(qū)域用陰影表示正確的是（　　）
A、精英家教網
B、精英家教網
C、精英家教網
D、精英家教網

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設向量
OA
=（3，1），
OB
=（-1，2），向量
OC
⊥
OB
，
BC
∥
OA
，又
OD
+
OA
=
OC
，求
OD
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）|
a
|=3，|
b
|=4，且（
a
+2
b
）•（
a
-3
b
）=-93，求向量
a
與
b
的夾角＜
a
，
b
＞；
（2）設向量
OA
=（-1，-2），
OB
=（1，4），
OC
=（2，-4），在向量
OC
上是否存在點P，使得
PA
⊥
PB
，若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：廣州模擬 題型：解答題

設向量
OA
=(3，-
3
)，
OB
=(cosθ，sinθ)，其中0≤θ≤
π
2
．
（1）若|
AB
|=
13
，求tanθ的值；
（2）求△AOB面積的最大值．

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