Question

已知函數(shù)f（x）=ln

1+x

1-x

+sinx，則關(guān)于a的不等式f（a-2）+f（a²-4）＜0的解集是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)已知中的函數(shù)解析式，先分析函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及定義域，可將不等式f（a-2）+f（a²-4）＜0化為-1＜a²-4＜-a+2＜1，解不等式組可得答案

解答： 解：函數(shù)f（x）=ln

1+x

1-x

+sinx的定義域?yàn)椋?1，1）
且f（-x）=ln

1-x

1+x

+sin（-x）=-（ln

1+x

1-x

+sinx）=-f（x）
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)
又∵f（x）=ln

1+x

1-x

+sinx=ln（1+x）-ln（1-x）+sinx
且在區(qū)間（-1，1）上y=ln（1+x）和y=sinx為增函數(shù)，y=ln（1-x）為減函數(shù)
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上為增函數(shù)，
則不等式f（a-2）+f（a²-4）＜0可化為：
f（a²-4）＜-f（a-2），
即f（a²-4）＜f（-a+2），
即-1＜a²-4＜-a+2＜1
解得

3

＜a＜2
故不等式f（a-2）+f（a²-4）＜0的解集是（

3

，2）
故答案為：（

3

，2）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)，解不等式，是函數(shù)圖象和性質(zhì)與不等式的綜合應(yīng)用，難度較大．